Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.9 - Ex. 42

Encontre f .

f ' ' x = 20 x 3 + 12 x 2 + 4 ,         f 0 = 8 ,           f 1 = 5

Passo 1

Bom pessoal, nessa questão temos a segunda derivada de uma função:

f ' ' x = 20 x 3 + 12 x 2 + 4

E sabemos que:

f 0 = 8

f 1 = 5

E queremos encontrar a função f x .

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f :

F ' x = f x

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f :

F x + C

onde C é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a F x não muda em nada sua derivada.

Vamos usar as condição dadas de que f 0 = 8 e f 1 = 5 para encontrar o valor de C .

Aqui vai nos ajudar saber a regra do polinômio:

x n = x n + 1 n + 1 '

E da constante:

K = K x '

Como temos a segunda derivada, vamos precisar fazer esse processo duas vezes para encontrar a função f x original.

Passo 2

Nossa segunda derivada é:

f ' ' x = 20 x 3 + 12 x 2 + 4  

A antiderivada do primeiro termo é:

2 0 x 3 = 2 0 x 4 4 '

20 x 3 = 5 x 4 '

E do segundo termo é:

12 x 2 = 12 x 3 3 '

12 x 2 = 4 x 3 '

E do último termo é:

4 = 4 x '

Dessa forma, somando tudo com uma constante C , temos para a antiderivada geral que é a nossa primeira derivada que:

f ' x = 5 x 4 + 4 x 3 + 4 x + C

Passo 3

Agora vamos repetir o processo para encontrar a função original.

Nossa derivada é:

f ' x = 5 x 4 + 4 x 3 + 4 x + C

A antiderivada do primeiro termo é:

5 x 4 = 5 x 5 5 '

5 x 4 = x 5 '

A antiderivada do segundo termo é:

4 x 3 = 4 x 4 4 '

4 x 3 = x 4 '

A antiderivada do terceiro termo é:

4 x = 4 x 2 2 '

4 x = 2 x 2 '

E do último termo é:

C = C x '

Dessa forma, juntando tudo e somando a uma nova constante D temos para a antiderivada geral que é a função original que:

f x = x 5 + x 4 + 2 x 2 + C x + D

Passo 4

Aplicando agora as condições do problema, podemos encontrar o valor das constantes C e D . Aplicando f 0 = 8 , temos

f x = x 5 + x 4 + 2 x 2 + C x + D

f 0 = 0 5 + 0 4 + 2 ( 0 ) 2 + C ( 0 ) + D

D = 8

Aplicando f 1 = 5 , temos

f x = x 5 + x 4 + 2 x 2 + C x + D

f 1 = 1 5 + 1 4 + 2 ( 1 ) 2 + C + 8

C = - 7

Resposta

f x = x 5 + x 4 + 2 x 2 - 7 x + 8

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um carro está viajando a 80 km/h quando seu condutor freia completamente, produzindo uma desaceleração constante de 7 m/s² . Qual a distância percorrida antes de o carro parar?
Uma companhia estima que o custo marginal (em dólares por item) de produzir x itens é 1,92 - 0,002 x . Se o custo de produzir um item for $562 , encontre o custo de produzir 100 itens.
Duas bolas são arremessadas para cima à margem do penhasco no Exemplo 7. A primeira é arremessada com uma velocidade de 15 m/s, e a outra é arremessada 1 segundo depois, com uma velocidade de 8 m/s. A
Se um mergulhador de massa m permanece na ponta de um trampolim de comprimento L e densidade linear ρ , o trampolim toma a forma da curva y = f ( x ) , em que E I y n = m g L - x + 1 2 ρ g L - x 2 E I
Um carro é freado com uma desaceleração constante de 5 m / s ² ² , produzindo marcas de frenagem medindo 60m antes de parar completamente. Quão rápido estava o carro viajando quando o freio foi aciona