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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 48

Encontre f .

f ' ' ' x = cos ⁡ x ,             f 0 = 1 ,             f ' 0 = 2 ,           f ' ' 0 = 3

Passo 1

Bom pessoal,

Nessa questão temos uma terceira derivada de uma função:

f ' ' ' x = cos ⁡ x

E queremos encontrar a função f ( x ) .

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f :

F ' x = f x

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f :

F x + C

onde C é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a F x não muda em nada sua derivada.

Aqui vai nos ajudar saber a regra da antiderivada do seno e do cosseno:

s e n x = - cos ⁡ x '

cos ⁡ x = s e n x '

E também da constante e do polinômio:

K = K x '

x n = x n + 1 n + 1 '

Os valores que foram dados que são:

f 0 = 1

f ' ( 0 ) = 2

f ' ' 0 = 3

Vão ser usados para se encontrar as constantes C ,   D ,   E que irão aparecer.

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada três vezes, vamos lá!

Passo 2

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f ' ' ' ( x ) . Para isso, utilizaremos as regras de derivação de funções trigonométricas, ficando com

f ' ' ' x = cos ⁡ x

A antiderivada desse termo é:

cos ⁡ x = s e n x '

Somando isso com uma constante teremoes:

f ' ' x = s e n x + C

Derivando f ' ' ( x ) , temos

f ' ' ' x = cos ⁡ x

Dessa forma, f ' ' ( x ) é a antiderivada de f ' ' ' ( x ) .

Passo 3

Encontrando agora a antiderivada de f ' ' ( x ) , temos

f ' ' x = s e n   x + C

Para o primeiro termo temos:

s e n x = - cos ⁡ x '

E para o segundo termo temos:

C = C x '

Agora somando tudo com uma nova constante temos:

f ' ( x ) = - cos ⁡ x + C x + D

Derivando f ' ( x ) , temos

f ' ' x = s e n   x + C

Dessa forma, f ' ( x ) é a antiderivada de f ' ' ( x ) .

Passo 4

Encontrando agora a antiderivada de f ' ( x ) , temos

f ' ( x ) = - cos ⁡ x + C x + D

Para o primeiro termo temos:

- cos ⁡ x = - s e n x '

Para o segundo termo temos:

C x = C x 2 2 '

E para o terceiro termo temos:

D = ( D x ) '

Somando tudo com uma nova constante temos:

f x = - s e n   x + C 2 x 2 + D x + E

Derivando f ( x ) , temos

f ' ( x ) = - cos ⁡ x + C x + D

Dessa forma, f ( x ) é a antiderivada de f ' ( x ) .

Passo 5

Aplicando agora as condições do problema, podemos encontrar o valor das constantes C , D e E. Aplicando f ' ' 0 = 3 , temos

f ' ' x = s e n   x + C

f ' ' 0 = s e n   0 + C

C = 3

Aplicando f ' 0 = 2 , temos

f ' ( x ) = - cos ⁡ x + C x + D

f ' ( 0 ) = - cos ⁡ 0 + 3 ( 0 ) + D

D = 3

Aplicando f 0 = 1 , temos

f x = - s e n   x + C 2 x 2 + D x + E

f 0 = - s e n   0 + 3 2 ( 0 ) 2 + 3 ( 0 ) + E

E = 1

Resposta

f x = - s e n   x + 3 2 x 2 + 3 x + 1

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