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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.3 - Ex. 9

Resolva a equação diferencial.

(d p)/(d t) = t^2 p - p + t^2 - 1

Passo 1

Bom, vamos organizar essa expressão:

(d p)/(d t) = t^2 p - p + t^2 - 1 = p (t^2 - 1) + 1 (t^2 - 1) = ( p + 1 ) ( t^2 - 1 )

Isso implica que:

(1)/(p + 1) d p = (t^2 - 1) d t

Passo 2

Agora, integrando ambos lados:

int (1)/(p + 1) d p = int (t^2 - 1) d t

Isso implica que:

ln |p + 1| = (1)/(3) t^3 - t + C

=> |p + 1| = e^(t^3 // 3 - t + C)

=> p + 1 = +- e^C e^(t^3 // 3 - t)

Assim, temos que:

p = K e^(t^3 // 3 - t) - 1

Onde K = +- e^C

Desde que p = - 1 também é uma solução, K pode ser igual a 0 e, portanto, K pode ser qualquer número real.

Resposta

p = K e^(t^3 // 3 - t) - 1

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