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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.3 - Ex. 14

Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.

y ' = x y   s e n   x y + 1               y 0 = 1

Passo 1

Sabemos que y ' = d y / d x , então para encontrarmos a solução da equação diferencial podemos deixar todos os termos que depende de y de um lado da equação e todos os termos que dependem de x do outro lado da equação.

d y d x = x y   s e n   x y + 1

y + 1 y d y = x   s e n   x   d x  

Passo 2

Estando seperadas as variáveis, podemos integrar ambos os lados. Sendo esta uma integral indefinida.

∫ 1 + 1 y d y = ∫ x   s e n   x   d x

y + ln ⁡ | y | = ∫ x   s e n   x   d x

Para integrar ∫ x   s e n   x   d x vamos utilizar integração por partes, onde u = x   logo d u = d x e d v = s e n x   d x logo v = - cos ⁡ x , então:

y + ln ⁡ | y | = ∫ x   s e n   x   d x = u v - ∫ v   d u = - x cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x d x

y + ln ⁡ | y | = - x cos ⁡ x + s e n   x + C

Passo 3

Para encontrar o valor da constante C, podemos utilizar a condição incial dada pelo problema, y 0 = 1 . Isso nos diz que x = 0   e   y = 1 .

Vamos aplicar esta condição inicial no resultado que obtemos após a integração.

1 + ln ⁡ 1 = - 0 cos ⁡ 0 + s e n   0 + C

1 = C

Passo 4

Substituindo o valor de C no resultado que obtemos após a integração, encontramos a solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial y 0 = 1 .

y + ln ⁡ | y | = - x cos ⁡ x + s e n   x + 1

Resposta

y + ln ⁡ | y | = - x cos ⁡ x + s e n   x + 1

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