Enunciado

Resolva a equação diferencial.

(d y)/(d x) = x s e n 2 x + y tan x , - (pi)/(2) < x < (pi)/(2)

Passo 1

O exercício pede para resolvermos a equação diferencial. Neste caso, temos

y^' - tan x y = x s e n 2 x

Note que essa equação é linear e pode ser esciita na forma

y^' + P (x) y = Q (x) ,

com

P (x) = - tan x e Q (x) = x s e n 2 x

O primeiro passo para resolver a equação é achar o fator integrante:

I = e^(int P (x) d x)

Calculando a integral:

int P (x) d x = - int tan x d x = - int (s e n x)/(cos x) d x = ln (cos x)

Assim,

I = e^(ln (cos x)) = cos x

Passo 2

Multiplicando a equação pelo fator integrante:

y^' cos x - cos x tan x y = x s e n 2 x cos x

Assim, o primeiro termos pode ser fatorado:

y^' cos x - cos x tan x y = y^' cos x - s e n x y = ( y cos x ) '

Logo,

(d)/(d x) (y cos x) = x s e n 2 x cos x

Integrando, obtemos

y cos x = int x s e n 2 x cos x d x

Essa integral é uma integral muito chata de fazer (chata mesmo) e o foco aqui não é perder muito tempo com integrais e sim estudar equações diferenciais, então não tem problema nenhum deixar a solução em função da integral. Para isso, basta adicionar a constante de integração e isolar o y :

y = (1)/(cos x) int x s e n 2 x cos x d x + (C)/(cos x)

Ou ainda,

y = sec x int x s e n 2 x cos x d x + C sec x

Resposta

y = sec x int x s e n 2 x cos x d x + C sec x

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