11. a) Use a equação 21 para mostrar que a velocidade de escape do foguete é dada por v 0 = 2 g R . Sugestão: faça y → ∞ em 21 e suponha v0 para todo t .b) O resultado da parte a) é válido para qualquer corpo no sistema solar. Use os valores g = 9,8 m s 2 e R = 6350 k m para mostrar que a velocidade de escape da terra é de aproximadamente v 0 = 11,2 k m s .c) Encontre a velocidade de escape da lua se a aceleração da gravidade é igual a 0,165 g e R = 1738 k m .

a) Demonstração.b) Demonstração.c) v 0 = 2,37 k m s

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.3 - Ex. 11

11. a) Use a equação para mostrar que a velocidade de escape do foguete é dada por . Sugestão: faça em e suponha para todo .

b) O resultado da parte a) é válido para qualquer corpo no sistema solar. Use os valores e para mostrar que a velocidade de escape da terra é de aproximadamente .

c) Encontre a velocidade de escape da lua se a aceleração da gravidade é igual a e .

Passo 1

a) Então galera, a equação que o enunciado diz é essa aqui ó:

Mas o que temos que fazer? Olha só, velocidade de escape é a velocidade necessária para algo sair da órbita em que o mesmo se encontra. Supondo que a velocidade seja nula no infinito e que , assim como o enunciado indica, teremos:

Então:

Que é exatamente a expressão que queríamos encontrar!

Passo 2

b) Substituindo os valores e , teremos:

Convertendo para , teremos:

Como queríamos demonstrar!

Passo 3

c) Substituindo os valores e , teremos:

Convertendo para :

Resposta

a) Demonstração.

b) Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A equação diferencial não linear: d r d t 2 = 2 μ r + 2 h Em que μ e h são constantes não negativas, aparece no estudo do problema de dois corpos em mecânica celeste. Aqui, a variável r representa a d

Resolva a equação do Problema 19 com a ajuda da fórmula quadrática.

A população P t de uma grande cidade é descrita pelo problema de valor inicial: d P d t = P 10 - 1 - 10 - 7 P , P 0 = 5000 Em que t é medido em meses. Qual é o valor limite da população? Quando a popu

De acordo com a lei de Stefan sobre radiação, a taxa de variação da temperatura de um corpo com temperatura absoluta T é: d T d t = k T 4 - T m 4 Em que T m é a temperatura absoluta do meio ambiente.

A equação diferencial: x d x d y 2 + 2 y . d x d y = x Em que x = x y , ocorre no estudo da óptica. A equação descreve o tipo de curva plana que refletirá todo raio de luz incidente para o mesmo ponto