11. a) Use a equação 21 para mostrar que a velocidade de escape do foguete é dada por v₀ = raiz(2gR) . Sugestão: faça y → infinito em 21 e suponha v > 0 para todo t .

b) O resultado da parte a) é válido para qualquer corpo no sistema solar. Use os valores g = 9,8 * (m / s^2) e R = 6350 km para mostrar que a velocidade de escape da terra é de aproximadamente v₀ = 11,2 * (k * m) / s .

c) Encontre a velocidade de escape da lua se a aceleração da gravidade é igual a 0,165g e R = 1738 km .

Passo 1

a) Então galera, a equação 21 que o enunciado diz é essa aqui ó:

v 2 = 2 g . R 2 y - 2 g R + v 0 2

Mas o que temos que fazer? Olha só, velocidade de escape é a velocidade necessária para algo sair da órbita em que o mesmo se encontra. Supondo que a velocidade seja nula no infinito e que y → ∞ , assim como o enunciado indica, teremos:

0 = 2 g . R 2 ∞ - 2 g R + v 0 2

Então:

0 = - 2 g R + v 0 2

v 0 2 = 2 g R

∴ v 0 = 2 g R

Que é exatamente a expressão que queríamos encontrar!

Passo 2

b) Substituindo os valores g = 9,8 m s 2 e R = 6350 k m , teremos:

v 0 = 2.9,8.6350000

v 0 = 124460000

∴ v 0 = 11156,16

Convertendo para k m s , teremos:

v 0 = 11,15 m s

Como queríamos demonstrar!

Passo 3

c) Substituindo os valores 0,165 g e R = 1738 k m , teremos:

v 0 = 2.0,165.9,8.1738000

v 0 = 5620692

∴ v 0 = 2370,80 m s

Convertendo para k m s :

v 0 = 2,37 k m s

Resposta

a) Demonstração.

b) Demonstração.

c) v 0 = 2,37 k m s

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