Enunciado

21. Resolva a equação diferencial x y ' + 2 y = e x e use uma calculadora ou um computador para traçar vários membros da família de soluções. Como a curva solução muda quando C varia?

Passo 1

Dividindo tudo por x , temos y ' + 2 x y = e x x , então a EDO é linear com P x = 2 x e Q x = e x x .

Passo 2

Lembrando que o fator integrante é dado por I x = e ∫ P x d x , ou seja, I x = e ∫ 2 x d x = e 2 ln ⁡ x = x 2

Passo 3

Sabendo que dado o fator integrante I ( x ) , a solução y ( x ) é dada por y x = 1 I ( x ) ∫ I x Q x d x + C . Já sabemos que I x = x 2 e que Q x = e x x .

Passo 4

Então precisamos calcular ∫ x 2 ⋅ e x x d x = ∫ x e x d x . Vamos usar o método da integração por partes, onde ∫ u d v = u v - ∫ v d u . Fazendo u = x e d v = e x , temos que d u = 1 e v = e x e portanto, ∫ x e x d x = x e x - ∫ e x d x = x e x - e x . E então a solução é y x = 1 x 2   x e x - e x + C

Passo 5

Variando C nos números - 3 ,   - 2 ,   - 1 (gráfico em tons de azul) e 0 (gráfico em preto) e em 1 ,   2 ,   3 ,   5 (tons de vermelho), temos a seguinte família de soluções:

Resposta

Observando o gráfico, notamos que quando C é negativo, a solução tem uma parte negativa e quando C é positivo, a curva não tem pontos negativos.

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