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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 20

Resolva o problema de valor inicial:

x d y + ( y - cos x ) d x = 0 , y ((pi)/(2)) = 0

Passo 1

A gente tem que chegar nessa forma: y^' + P (x) y = Q ( x ) :

Vamos dividir tudo por d x ...

x (d y)/(d x) + ( y - cos x ) = 0

x y^' + y - cos x = 0

Agora a gente divide tudo por x ...

y^' + (y)/(x) = (c o s x)/(x)

Agora vamos ao fator integrante v (y) = e^(int P (x)) ...

O P ( x ) é (1)/(x) certo? Então vamos integrar isso...

int (1)/(x) d x = ln x

O fator integrante então é:

v (x) = e^(ln x) = x

Passo 2

Então agora nós montamos a equação, da forma:

y = (1)/(v (x)) int v (x) Q (x) d x

A nossa fica:

y = (1)/(x) int x ((cos x)/(x)) d x

y = (1)/(x) int cos x d x

y = (1)/(x) ( s e n x + C )

y = (s e n x)/(x) + (C)/(x)

Usamos o valor inicial para determinarmos a constante...

Passo 3

Como y ((pi)/(2)) = 0 , substituímos na equação encontrada e achamos o valor de C :

y ((pi)/(2)) = ((1)/(pi))/(2) (1 + C) = 0

(1 + C) = 0 -> C = - 1

Então a solução da equação é:

y = (s e n x)/(x) - (1)/(x)

Resposta

y = (s e n x)/(x) - (1)/(x)

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