Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 17.1 - Ex. 12

Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes (pois todos os coeficientes são constantes kkk) e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero.

Passo 2

Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

O processo para determinar é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

Agora vamos substituir na equação diferencial:

Dividindo essa equação por temos:

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para determinar essas raízes, vamos usar a (mais famosa ainda) fórmula de Bháskara:

Agora simplificando ao máximo temos:

Aqui encontramos duas raízes imaginárias. Isso nos dias que a solução é uma combinação linear de seno e cosseno, pesado por uma exponencial.

Se tivermos raízes do tipo a solução vai ser:

Agora basta substituir na solução que nós mesmos supomos lá no início do passo . Mas e os coeficientes ? Bom, como temos duas raízes, ambas são soluções, e a combinação linear delas formam uma base para todo o espaço vetorial das soluções. Sendo assim as duas soluções devem aparecer na solução final com os devidos coeficientes.