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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.2 - Ex. 1d

  1. Resolva a equação

d) (d^2 x)/(d t^2) - 4 (d x)/(d t) = 0

Passo 1

Teorema,

  1. s e lambda_1 != lambda_2 , a s o l u ç ã o g e r a l d a e q u a ç ã o h o m o g ê n e a (lambda^2 + b lambda + c = 0) s e r á

    2. x = A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)

  2. s e lambda_1 = lambda_2 , a s o l u ç ã o g e r a l s e r á

x = A e^(lambda_1 t) + B t e^(lambda_1 t)

Passo 2

aplicando em nossa questão:

(d^2 x)/(d t^2) - 4 (d x)/(d t) = 0

Transformando no formato lambda^2 + b lambda + c = 0 ,

lambda^2 - 4 lambda = 0

Passo 3

Resolvendo...

lambda^2 - 4 lambda = 0

( lambda ) ( lambda - 4 )

As raízes dessa equação homogênea são,

lambda_1 = 0 , lambda_2 = 4

Pelo teorema, lambda_1 != lambda_2

Então a solução geral da equação,

x = A e^(0 * t) + B e^(4 * t)

Resposta

x = A + B e^(4 t)

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Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é y = c 1 e - t / 2 + c 2 e - 2 t .
Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. 4 ⋅ y ' ' - 9 ⋅ y = 0
Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é y = c 1 e 2 t + c 2 e - 3 t .
Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. 2 ⋅ y ' ' - 3 ⋅ y ' + y = 0
Em cada um dos problemas 23 e 24, determine os valores de α , se existirem, para os quais todas as soluções tendem a zero quando t → ∞ ; determine, também, os valores de α , se existirem, para os quai