Enunciado

Resolva o problema de condição inicial.

17. y^(' ') + 3 y = 0 , y (0) = 1 , y^' (0) = 3

Passo 1

Para resolvermos essa equação diferencial, precisamos encontrar primeiro sua solução geral, para isso, vamos usar uma solução que satisfaça a equação:

y = e^(r x)

Com derivadas:

y^' = r e^(r x)

y^(' ') = r^2 e^(r x)

Precisamos achar o valor de r para escrevermos a solução geral e então aplicamos as condições iniciais para encontrarmos a solução.

Passo 2

Para achar r vamos substituir o que calculamos na equação dada:

r^2 e^(r x) + 3 e^(r x) = 0

Dividindo tudo por e^(r x) :

r^2 + 3 = 0

r^2 = - 3

E as raízes serão raízes complexas ( r = alpha + i beta ) , com valores:

r = +- i sqrt(3)

Passo 3

Por serem raízes complexas, nossa solução geral vai ser do tipo:

y = e^(alpha x) ( c_1 c o s beta x + c_2 s e n beta x )

Que é a combinação linear dos dois valores de r .

Substituindo alpha = 0 e beta = sqrt(3) :

y = c_1 c o s sqrt(3) x + c_2 s e n sqrt(3) x

Passo 4

E agora para acharmos as constantes c_1 e c_2 , vamos usar as condições inicias dadas no enunciado:

y (0) = 1

y ( 0 ) = c_1 c o s 0 + c_2 s e n 0 = 1

c_1 = 1

E a derivada da nossa solução é:

y^' = sqrt(3) c_2 c o s sqrt(3) x - sqrt(3) c_1 s e n sqrt(3) x

A condição dada é:

y^' (0) = 3

Como já temos c_1 , ficamos com:

y^' (0) = sqrt(3) c_2 c o s 0 - sqrt(3) s e n 0 = 3

c_2 = (3)/(sqrt(3)) = sqrt(3)

E a solução final é:

y = c o s sqrt(3) x + sqrt(3) s e n sqrt(3) x

Resposta

y = c o s sqrt(3) x + sqrt(3) s e n sqrt(3) x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva o problema de valor inicial.4 y^(' ') - 4 y^' + y = 0 , y (0) = 1 , y^' (0) = - 1,5
Resolva o problema de valor inicial.y^(' ') + 3 y = 0 , y (0) = 1 , y^' (0) = 3
Faça o gráfico das duas soluções básicas da equação diferencial e de várias outras soluções. Que aspecto as soluções têm em comum? d 2 y d x 2 + 4 d y d x + 20 y = 0
Faça o gráfico das duas soluções básicas da equação diferencial e de várias outras soluções. Que aspecto as soluções têm em comum? 5 d 2 y d x 2 - 2 d y d x - 3 y = 0
Faça o gráfico das duas soluções básicas da equação diferencial e de várias outras soluções. Que aspecto as soluções têm em comum? 9 d 2 y d x 2 + 6 d y d x + y = 0