Resolva a equação diferencial.

7. 3 * y'' = 4 * y'

Passo 1

Vamos primeiro reescrever a equação diferencial:

3 y^(' ') - 4 y^' = 0

Como só tem constantes multiplicando y ' ' e y ' , uma solução será:

y = e^(r x)

E as derivadas:

y^' = r e^(r x)

y^(' ') = r^2 e^(r x)

Precisamos encontrar r para podermos escrever a solução geral.

Passo 2

Para isso, vamos substituir as derivadas na equação diferencial dada:

3 r^2 e^(r x) - 4 r e^(r x) = 0

E então dividirmos por 3 e^(r x) , para encontrarmos o polinômio característico:

r^2 - (4)/(3) r = 0

Reescrevendo:

r (r - (4)/(3)) = 0

A gente pode ver que teremos duas raízes:

r_1 = 0

r_2 = (4)/(3)

Passo 3

Como essas raízes são reais e distintas, a solução geral é do tipo:

y = c_1 e^(r_1 x) + c_2 e^(r_2 x)

Substituindo as raízes, a solução que procuramos é:

y = c_1 + c_2 e^((4)/(3) x)

Resposta

y = c_1 + c_2 e^((4)/(3) x)

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