Resolva a equação diferencial.

8.y = y''

Passo 1

Primeiro vamos reescrever a equação dada:

y ' ' - y = 0

Uma solução para ela é:

y = e r x

Derivando duas vezes:

y ' = r e r x

y ' ' = r 2 e r x

Passo 2

Substituímos então na equação diferencial que estamos buscando a solução, para encontrarmos o valor de r : r 2 e r x - e r x = 0

Dividindo dos dois lados por e r x :

r 2 - 1 = 0

As raízes do polinômio que encontramos serão:

r = ± 1

Passo 3

Como essas raízes são reais e distintas, a solução geral da nossa equação diferencial vai ser do tipo:

y = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

Substituindo os valores que encontramos em r 1 e r 2 :

y = c 1 e x + c 2 e - x

Pronto, essa é a solução geral que a gente procurava.

Resposta

y = c 1 e x + c 2 e - x

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