Resolva a equação diferencial.

8. y = y''

Passo 1

Primeiro vamos reescrever a equação dada:

y^(' ') - y = 0

Uma solução para ela é:

y = e^(r x)

Derivando duas vezes:

y^' = r e^(r x)

y^(' ') = r^2 e^(r x)

Passo 2

Substituímos então na equação diferencial que estamos buscando a solução, para encontrarmos o valor de r : r^2 e^(r x) - e^(r x) = 0

Dividindo dos dois lados por e^(r x) :

r^2 - 1 = 0

As raízes do polinômio que encontramos serão:

r = +- 1

Passo 3

Como essas raízes são reais e distintas, a solução geral da nossa equação diferencial vai ser do tipo:

y = c_1 e^(r_1 x) + c_2 e^(r_2 x)

Substituindo os valores que encontramos em r_1 e r_2 :

y = c_1 e^x + c_2 e^(- x)

Pronto, essa é a solução geral que a gente procurava.

Resposta

y = c_1 e^x + c_2 e^(- x)

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