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Enunciado

Cálculo - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 5.4 - Ex. 4b

4. Encontrar uma equação diferencial linear com coeficientes constantes cuja solução geral seja:

a) k 1 + k 2 t e - 4 t

b) k 1 e 3 t + k 2 e - 3 t

c) k 1 e 2 t s e n   4 t + k 2 e 2 t cos ⁡ 4 t .

Passo 1

Bem... nessa questão nós vamos ver que cara tem a solução geral e tentar achar identificar qual é o caso, pra depois achar a equação diferencial.

a) nesse caso tem cara de ser um polinômio característimo que tem as duas raizes reais e distintas:

y t = k 1 e x 1 t + k 2 e x 2 t

Onde x 1 e x 2 são as raízes do polinômio característico. E o polinômio característico fica:

( r - x 1 ) ( r - x 2 ) = 0

Passando para a equação diferencial na forma de operador (que é só mudar o r por D , e multiplicar tudo por y .

( D - x 1 ) ( D - x 2 ) y = 0

Passo 2

Agora vamos botar a mão na massa.

k 1 e 3 t + k 2 e - 3 t

Então as raízes do polinômio característico são:

x 1 = 3

x 2 = - 3

Então a equação fica:

( D - 3 ) ( D + 3 ) y = 0

D 2 - 9 y = 0

Passando pra outra forma:

y ' ' - 9 y = 0

Resposta

y ' ' - 9 y = 0

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