Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.1 - Ex. 55
Resolva em e escreva a resposta com a notação de valor absoluto
Passo 1
Precisamos encontrar os valores para os quais a nossa equação é verdadeira. Pra isso vamos analisá-la usando uma tabela de sinais seguindo essa metodologia:
- Isolar todos os termos de um lado e simplificar em uma fração só
- Encontrar as raízes dos polinômios do numerador e do denominador
- Seccionar os números reais em intervalos delimitados pelas raízes encontradas
- Analisar o sinal de cada binômio para cada um dos intervalos e fazer uma tabelinha com esses sinais.
- Os intervalos onde a condição da nossa inequação for satisfeita serão os intervalos que formam o nosso conjunto solução!
Parece complicado, mas fazendo um passo por vez é sem stress ;)
Vamos botar todo mundo pro lado esquerdo:
Fazendo o MMC:
E dividindo ambos os lados por
Bem melhor, né? Agora podemos achar as raízes dos polinômios do denominador e determinar nossos intervalos da tabela de sinais:
Passo 2
As raízes do denominador serão:
Passo 3
Daí podemos definir os nossos intervalos de análise de sinal:
Como o nosso intervalo de interesse é aberto, não precisamos nos preocupar com o valor da nossa função nas raízes!
Passo 4
A nossa tabelinha de análise de sinal vai ficar:
Prontinho! Agora é só definir os intervalos que satisfazem a condição .
Passo 5
Como queremos os intervalos que a nossa função é positiva, vamos ficar com os intervalos:
E o nosso intervalo resultante será a união dos dois!
Mas lembre-se que a questão o pede com notação de valor absoluto, então vai rolar alguma maracutaia nesse conjunto solução aí.
Passo 6
Na reta numérica, esse é o nosso intervalo:
Podemos representar ele como:
Queremos chegar em algo do tipo:
Vamos realizar algumas manipulações e chegamos rapidinho nisso daí. Se subtrairmos 2 em ambas as inequações ficamos com:
E isso é uma das formas de definir módulo! Ou seja: