Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 50

Resolva o Exercício 49, se a familia a um parâmetro tiver a equação x 3 + y 3 = a 3 .

Passo 1

Vamos começar achando o coeficiente angular de uma reta tangente a essa curva. Para isso, vamos derivar implicitamente.

x 3 + y 3 = a 3     →         3 x 2 + 3 y 2 d y d x   = 0

d y d x   = - 3 x 2 3 y 2 = - x 2 y 2

Passo 2

Agora vamos achar o coeficiente angular da reta tangente a outra família de curvas. A questão 49 diz que as retas tangentes serão perpendiculares então vamos usar o fato de que se duas retas são perpendiculares com coeficientes angulares m e n , então m ⋅ n = - 1 .

m = - x 2 y 2       →         - x 2 y 2 ⋅ n = - 1       →         n = y 2 x 2

Sendo assim, o coeficiente angular da reta tangente a outra família de curvas é y 2 x 2 .

Passo 3

Podemos escrever d y d x = y 2 x 2 e se queremos achar a familia de curvas, basta integrar dos dois lados d y y 2 = d x x 2 .

∫ d y y 2 = ∫ d x x 2         →         - 1 y = - 1 x + C     →       1 x - 1 y = C

1 x - 1 y = C

Logo, essa equação representa uma família de curvas com a propriedade pedida.

Resposta

1 x - 1 y = C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta, em t segundos, s é a distância orientada da partícula até a origem, v m/s é a sua velocidade e a m/s² é a sua aceleração. (27) a = 800 ; v = 20es = 1
Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta, em t segundos, s é a distância orientada da partícula até a origem, v m/s é a sua velocidade e a m/s² é a sua aceleração. (25) a = t 2 + 2 t ; s = 1q
Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta, em t segundos, s é a distância orientada da partícula até a origem, v m/s é a sua velocidade e a m/s² é a sua aceleração. (27) a = 18 s e n 3 t ; v =
Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta de tal forma que se v cm/s for a velocidade da partícula em t s, então v = s e nπ t , onde a direção positiva é à direita da origem. Se a partícula est
Se os freios dão uma aceleração negativa constante ao carro de 8 m/s², qual deverá ser a velocidade escalar máxima do carro, para que ele pare 25 m depois da freiada?