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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.Exercícios de Revisão - Ex. 20

Resolva y ' + 2 y = 4 ,   y 0 = 3 por um dos métodos usuais. Resolva o mesmo problema pelo método de Picard e compare os resultados.

Passo 1

E aí, tudo bem?

Vamos resolver essa EDO aqui:

y ' + 2 y = 4

Vamos dar uma reescrevida nela:

d y d x = ( 4 - 2 y )

d y = 4 - 2 y d x

d y 4 - 2 y = d x

Chegamos a uma Edo separável, vamos integrar os dois lados...

Passo 2

Integrando:

∫ d y 4 - 2 y = ∫ d x

- 1 2 ln ⁡ 4 - 2 y = x + C

e ln ⁡ 4 - 2 y - 1 2 = e x + C

1 4 - 2 y = c 1 e x

4 - 2 y = c 1 e - 2 x

2 y = c 1 e - 2 x + 4

y = c 2 e - 2 x + 2

Passo 3

Aplicando o valor inicial, y 0 = 3 :

3 = c 2 e 0 + 2

c 2 = 1

Então a solução do PVI é:

y = e - 2 x + 2

Passo 4

Agora a gente vai usar o método de Picard para resolver a equação...

A questão nos deu y 0 = 3 , então temos x 0 = 0 , y 0 = 3 e f t ,   y n - 1 t =   4 - 2 y n - 1 ( t ) .

Lembrando que a fórmula de Picard é:

y n x = y 0 + ∫ 0 x   f t ,   y n - 1 t   d t  

Primeiro vamos encontrar y 1 :

y 1 = 3 + ∫ 0 x 4 - 2 ( 3 ) d t

y 1 = 3 + - 2 t 0 x

y 1 = 3 - 2 x

Beleza, encontramos y 1 , vamos seguir...

Passo 5

Agora y 2 :

y 2 = 3 + ∫ 0 x 4 - 2 ( 3 - 2 t d t

y 2 = 3 + ∫ 0 x - 2 + 4 t   d t

y 2 = 3 + - 2 t + 2 t 2 0 x

y 2 = 3 - 2 x + 2 x 2

Passo 6

E faremos também y 3 :

y 3 = 3 + ∫ 0 x 4 - 2 ( 3 - 2 t + 2 t 2 d t

y 3 = 3 + ∫ 0 x - 2 + 4 t - 4 t 2   d t

y 3 = 3 + - 2 t + 2 t 2 - 4 t 3 3 0 x

y 3 = 3 - 2 x + 2 x 2 - 4 3 x 3

Se a gente for seguindo, vamos ver um padrão assim:

2 + 1 - 2 x + 2 x 2 2 ! - 2 x 3 3 ! + 2 x 4 4 ! …

E essa é a expressão da série para 2 + e - 2 x .

Então podemos dizer que:

y n = 2 + e - 2 x

Sendo assim, nossas soluções conferiram 😉

Resposta

y = e - 2 x + 2

Ver Outros Exercícios desse livro

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Nos problemas 49 e 50, encontre uma solução para a equação diferencial dada que passe pelos pontos indicados.50. x d y d x = y 2 - y a) (0, 1)
Nos problemas 41-48, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.43. y d y = 4 x y 2 + 1 1 2 d x , no qual y 0 = 1 .
Nos problemas 41-48, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.48. y ' + 2 y = 1 , no qual y 0 = 5 2 .
Resolva os problemas 1-4 sem consultar o texto. Complete o espaço em branco ou responda verdadeiro ou falso.O problema de valor inicial x y ' = 3 y ,y 0 = 0 possui a solução y = x 3 e_____________.
Resolva (y)/(x) (d y)/(d x) = (e^x)/(ln y) sujeito a y (1) = 1 .