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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.Exercícios de Revisão - Ex. 9

Resolva x y y^' = 3 y^2 + x^2 sujeito a y (- 1) = 2 .

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Bora resolver essa equação aí?

x y y^' = 3 y^2 + x^2

Bom, se a gente escrever assim:

x y (d y)/(d x) = 3 y^2 + x^2

x y d y = (3 y^2 + x^2) d x

x y d y - (3 y^2 + x^2) d x = 0

Temos uma equação homogênea!

Agora a gente tem que resolver isso, vem comigo!

Passo 2

Pra resolver esse tipo de equação, a gente faz aquele esquema de substituição. No nosso caso, a parte com d y é mais simples, então a gente vai fazer y = v x .

Derivando a gente tem:

d y = v d x + x d v

Aí a gente substitui isso na nossa EDO:

x y d y - (3 y^2 + x^2) d x = 0

x^2 v (v d x + x d v) - (3 x^2 v^2 + x^2) d x = 0

x^2 v^2 d x + x^3 v d v - 3 x^2 v^2 d x - x^2 d x = 0

v^2 d x + x v d v - 3 v^2 d x - d x = 0

d x (- 2 v^2 - 1) = d v ( - x v )

- (d x)/(x) = (v)/(- 2 v^2 - 1) d v

Show! Chegamos a uma EDO separável (já separada, na verdade)...

Passo 3

Agora a gente vai integrar dos dois lados pra resolver...

int (v)/(- 2 v^2 - 1) d v = int - (d x)/(x)

- (1)/(4) ln ( 2 u^2 + 1 ) = - ln x + C

(1)/(4) ln ( 2 u^2 + 1 ) - ln x = C

Como y = v x , temos v = (y)/(x) :

(1)/(4) ln ((2 y^2)/(x^2) + 1) - ln x = C

ln ((((2 y^2)/(x^2) + 1)^((1)/(4)))/(x)) = C

(((2 y^2)/(x^2) + 1)^((1)/(4)))/(x) = c_1

(2 y^2)/(x^2) + 1 = c_1 x^4

2 y^2 + x^2 = c_1 x^6

Passo 4

Agora vamos usar o nosso valor inicial y (- 1) = 2 para descobrir o c_1 :

2 y^2 + x^2 = c_1 x^6

2 (2)^2 + (- 1)^2 = c_1 (- 1)^6

8 + 1 = c_1

c_1 = 9

Então a solução do nosso PVI é:

2 y^2 + x^2 = 9 x^6

Resposta

2 y^2 + x^2 = 9 x^6

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