Enunciado

Resolva o problema 55 quando a carga é dada por

w x = 0 ,   0 < x < L / 3 w 0 , L 3 < x < 2 L 3 0 , 2 L 3 < x < L

Escreva w ( x ) em termos de funções degrau unitário

Passo 1

E aííí meu colega, como vai?

Aqui temos uma aplicação física de equações diferenciais, onde queremos encontrar a deflexão y ( x ) de uma viga a partir de

d 4 y d x 4 = w 0 E I

Em que y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0 ,   y ' ' L = 0 e y ' ' ' L = 0

Além disso, seguindo isso:

w x = 0 ,   0 < x < L / 3 w 0 , L 3 < x < 2 L 3 0 , 2 L 3 < x < L

Temos que w x = w 0 u x - L 3 - u x - 2 L 3

E bom, para resolver essa >equaçãozinha

Ah, só pra lembrar, aqui tem algumas transformadas que podemos utilizar:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L y ( n ) t = s n . Y s - s n - 1 . y 0 - s n - 2 y ' 0 - … - y n ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L δ ( t + k ) = e k s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora bora lá!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

d 4 y d x 4 = w 0 u x - L 3 - u x - 2 L 3 E I

s 4 . Y s - s 3 . y 0 - s 2 y ' 0 - s . y ' ' 0 - y ' ' ' 0 = w 0 E I . 1 s e - L s 3 - e - 2 L s 3  

Sabemos que y 0 = 0   e   y ' 0 = 0 .

O y ' ' ( 0 ) e y ' ' ' ( 0 ) a gente deixa assim por enquanto, porque são constantes que não sabemos o valor, certo?

s 4 . Y s - s 3 . 0 - s 2 0 - s . y ' ' 0 - y ' ' ' 0 = w 0 E I . 1 s e - L s 3 - e - 2 L s 3

s 4 . Y s - s . y ' ' 0 - y ' ' ' 0 = w 0 E I . 1 s e - L s 3 - e - 2 L s 3

Y s . s 4 - s . y ' ' 0 - E I . y ' ' ' 0 = w 0 E I . 1 s e - L s 3 - e - 2 L s 3

Y s . s 4 = w 0 E I . 1 s e - L s 3 - e - 2 L s 3 + s . y ' ' 0 + y ' ' ' 0

Isolando Y ( s ) :

Y s = w 0 E I . 1 s 5 e - L s 3 - e - 2 L s 3 + y ' ' 0 s 3 + y ' ' ' 0 s 4

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, vamo que vamo

Passo 3

Temos

Y s = w 0 E I . 1 s 5 e - L s 3 - e - 2 L s 3 + y ' ' 0 s 3 + y ' ' ' 0 s 4

Vamos manipular algebricamente as 3 frações para termos algo parecido com a transformada de x n , que é n ! s n + 1 :

Y s = w 0 E I . 1 24 4 ! s 5 e - L s 3 - e - 2 L s 3 + 1 2 y ' ' 0 . 2 ! s 3 + 1 6 y ' ' ' 0 3 ! s 4

Então temos:

y x = w 0 24 . E I . x - L 3 4 u x - L 3 - x - 2 L 3 4 u x - 2 L 3 + y ' ' 0 2 . x 2 + y ' ' ' 0 6 . x 3   ( I )

Belezinha, agora ainda falta só mais um pouco, juro juradinho!

Precisamos usar as informações de que y ' ' L = 0 e y ' ' ' L = 0 para encontrarmos as constantes y ' ' ( 0 ) e y ' ' ' ( 0 ) , vamos lá!

Passo 4

Temos

y x = w 0 24 . E I . x - L 3 4 u x - L 3 - x - 2 L 3 4 u x - 2 L 3 + y ' ' 0 2 . x 2 + y ' ' ' 0 6 . x 3

Vamos encontrar y ' ' ( x ) e y ' ' ' ( x )

Derivando uma vez:

y ' x = w 0 6 . E I . x - L 3 3 u x - L 3 - x - 2 L 3 3 u x - 2 L 3 + y ' ' 0 . x + 1 2 y ' ' ' 0 . x ²

Derivando de novo:

y ' ' x = w 0 2 E I . x - L 3 2 u x - L 3 - x - 2 L 3 2 u x - 2 L 3 + y ' ' 0 + y ' ' ' 0 . x

Última vez hahahaha:

y ' ' ' x = w 0 E I . x - L 3 u x - L 3 - x - 2 L 3 u x - 2 L 3 + y ' ' ' ( 0 )

Agora vamos aplicar y ' ' L e y ' ' ' ( L )

Passo 5

Temos y ' ' L = 0 :

y ' ' L = w 0 2 E I . L - L 3 2 - L - 2 L 3 2 + y ' ' 0 + y ' ' ' 0 . L

E y ' ' ' L = 0 :

y ' ' ' x = w 0 E I . L - L 3 - L - 2 L 3 + y ' ' ' ( 0 )

Através das duas equações, encontramos

y ' ' 0 = 1 6 w 0 E I L ²

y ' ' ' 0 = - 1 3 . w 0 L E I

Agora vamos substituir esse valor lá em ( I ) ok?

Passo 6

Temos y ' ' 0 = 1 6 w 0 E I L ²

y ' ' ' 0 = - 1 3 . w 0 L E I

E temos que y ( x ) é:

y x = w 0 24 . E I . x - L 3 4 u x - L 3 - x - 2 L 3 4 u x - 2 L 3 + y ' ' 0 2 . x 2 + y ' ' ' 0 6 . x 3

Substituindo y ' ' ( 0 ) e y ' ' ' ( 0 ) :

y x = w 0 24 . E I . x - L 3 4 u x - L 3 - x - 2 L 3 4 u x - 2 L 3 + w 0 L ² 12 E I . x 2 - w 0 L 18 E I . x 3

E fimmmmmm

Resposta

y x = w 0 24 . E I . x - L 3 4 u x - L 3 - x - 2 L 3 4 u x - 2 L 3 + w 0 L ² 12 E I . x 2 - w 0 L 18 E I . x 3

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