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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.Exercícios de Revisão - Ex. 32

Nos problemas 29-36, use a transformada de Laplace para resolver a equação dada

y ' ' + 6 y ' + 5 y = t - t . u ( t - 2 ) ,     y 0 = 1 ,       y ' 0 = 0

Passo 1

Vamo que vamo

Temos essa equação diferencial:

y ' ' + 6 y ' + 5 y = t - t . u ( t - 2 ) ,     y 0 = 1 ,       y ' 0 = 0

E para encontrar y ( t ) , vamos usar a transformada de Laplace ta bom, então o passo a passo é: fazer a transformada da equação inteira, isolar Y ( s ) e fazer a transformada inversa do que encontrarmos, fechou?

Ah, só pra lembrar, aqui tem algumas transformadas que podemos utilizar:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L δ ( t + k ) = e k s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora bora lá!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

y ' ' + 6 y ' + 5 y = t - t . u t - 2

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 ) + 6 s . Y s - y 0 + 5 Y s = 1 s + - 2 e - 2 s s - e - 2 s s ²

Sabemos que y 0 = 1 e y ' 0 = 0 :

s 2 . Y s - s - 0 + 6 s . Y s - 1 + 5 Y s = 1 s + - 2 e - 2 s s - e - 2 s s ²

Y s . s 2 + 6 s + 5 = 1 s + - 2 e - 2 s s - e - 2 s s ² + s + 6

Então:

Y s = 1 s s 2 + 6 s + 5 + - 2 e - 2 s s - e - 2 s s ² s 2 + 6 s + 5 + s s 2 + 6 s + 5 + 6 s 2 + 6 s + 5

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, beleza?

Passo 3

Temos

Y s = 1 s s 2 + 6 s + 5 + - 2 e - 2 s s - e - 2 s s ² s 2 + 6 s + 5 + s s 2 + 6 s + 5 + 6 s 2 + 6 s + 5

Que podemos escrever assim:

Y s = s 3 + 6 s 2 + 1 s ² ( s + 1 ) ( s + 5 ) - e - 2 s s 2 s + 1 s + 5 - 2 e - 2 s s ( s + 1 ) ( s + 5 )

Expandindo em frações parciais, temos:

Y s = - 6 25 . 1 s + 1 5 . 1 s 2 + 3 2 . 1 s + 1 - 13 50 . 1 s + 5 - - 6 25 . 1 s + 1 5 . 1 s 2 + 1 4 . 1 s + 1 - 1 100 . 1 s + 5 e - 2 s - 2 5 . 1 s - 1 2 . 1 s + 1 + 1 10 . 1 s + 5 e - 2 s

Então podemos escrever:

y t = - 6 25 + 1 5 t 2 + 3 2 e - t - 13 50 e - 5 t - 4 25 u t - 2 - 1 5 t - 2 2 u t - 2 + 1 4 e - t - 2 u t - 2 - 9 100 e - 5 t - 2 u ( t - 2 )

Showww, vamos pros próximos!!

Resposta

y t = - 6 25 + 1 5 t 2 + 3 2 e - t - 13 50 e - 5 t - 4 25 u t - 2 - 1 5 t - 2 2 u t - 2 + 1 4 e - t - 2 u t - 2 - 9 100 e - 5 t - 2 u ( t - 2 )

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Nos problemas 27 e 28, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições de contorno indicadas. y ' ' + 2 y ' + y = 0 ,y ' 0 = 2 ,y 1 = 2
Nos problemas 29-38, use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial. f t + 2 ∫ 0 t f ( τ )c o s t - τ d τ = 4 e - t + s e n ( t )
Use o procedimento exposto no problema 61 para encontrar uma solução para o problema de valor inicial y ' ' + y = sec ⁡ t ,y 0 = 0 ,y ' 0 = 0
Nos problemas 59 e 60 use a transformada de Laplace e o Teorema 7.7 para encontrar uma solução para a equação dada t y ' ' + 2 t y ' + 2 y = 0 ,y 0 = 0
Neste problema, mostramos como a convolução pode ser usada para encontrar uma solução para um problema de valor inicial do tipo a y ' ' + b y ' + c y = g t , y 0 = 0 ,y ' 0 = 0 ( 13 ) (a) Mostre que a