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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 27

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.

27.

a n = 3 n 7 - n

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo de boa?

A questão pede para acharmos se a sequência converge ou diverge.

a n = 3 n 7 - n

Aqui poderíamos prosseguir normalmente com o Teste da Divergência, mas vamos manipular essa sequência e veremos que ela é do tipo:

b n = r n

Para esse tipo de sequência, não precisaremos calcular o valor do limite dela, é só avaliarmos o valor de r . Fica bem mais prático né? Os critérios para essa análise são:

lim n → ∞ ⁡ r n = ∞   s e   r > 1 0   s e   0 < r < 1          

Agora é só encontrar nosso valor de r , entender qual será o limite dessa sequência para ver ela converge ou diverge. Se convergir, vamos calcular o limite.

Vamos por partes!

Passo 2

Vamos reescrever nossa sequência dada no enunciado usando a propriedade a - n = 1 a n :

a n = 3 n 7 - n = 3 n 7 n

Usando mais uma propriedade da potenciação: a n b n = a b n , teremos:

a n = 3 7 n

Repara que agora é bem mais fácil reconhecer a semelhança com o formato:

b n = r n

Onde no nosso caso teremos:

r = 3 7 < 1

Então, podemos concluir que a sequência converge.

Passo 3

Calculando o limite da nossa sequência, vamos ter:

lim n → ∞ ⁡ 3 7 n

Agora repara que quanto maior nosso expoente com uma base menor que 1, como é o caso da nossa base 3 7 , menor fica nosso número. Portanto o limite é:

lim n → ∞ ⁡ 3 7 n = 0

Isso só confirma o que já sabíamos lá do nosso Passo 1: que quando 0 < r < 1 , lim n → ∞ ⁡ r n   = 0  

Resposta

A sequência converge e seu limite é:

L = 0

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Use a Definição 2 diretamente para demonstrar que l i m n → ∞r n = 0 quando r1 .
(a) Mostre que, se l i m n → ∞a 2 n = L e l i m n → ∞a 2 n + 1 = L , então a n é convergente e l i m n → ∞a n = L .(b) Se a 1 = 1 e a n + 1 = 1 + 1 1 + a n encontre os oito primeiros membros da sequên
Demonstre o Teorema 7 .
Calcule o limite da sequência{sqrt(2) , sqrt(2 sqrt(2)) , sqrt(2 sqrt(2 sqrt(2))) , ...}