Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.

27.

a_n = 3^n * 7^(-n)

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo de boa?

A questão pede para acharmos se a sequência converge ou diverge.

a n = 3 n 7 - n

Aqui poderíamos prosseguir normalmente com o Teste da Divergência, mas vamos manipular essa sequência e veremos que ela é do tipo:

b n = r n

Para esse tipo de sequência, não precisaremos calcular o valor do limite dela, é só avaliarmos o valor de r . Fica bem mais prático né? Os critérios para essa análise são:

lim n → ∞ ⁡ r n = ∞   s e   r > 1 0   s e   0 < r < 1          

Agora é só encontrar nosso valor de r , entender qual será o limite dessa sequência para ver ela converge ou diverge. Se convergir, vamos calcular o limite.

Vamos por partes!

Passo 2

Vamos reescrever nossa sequência dada no enunciado usando a propriedade a - n = 1 a n :

a n = 3 n 7 - n = 3 n 7 n

Usando mais uma propriedade da potenciação: a n b n = a b n , teremos:

a n = 3 7 n

Repara que agora é bem mais fácil reconhecer a semelhança com o formato:

b n = r n

Onde no nosso caso teremos:

r = 3 7 < 1

Então, podemos concluir que a sequência converge.

Passo 3

Calculando o limite da nossa sequência, vamos ter:

lim n → ∞ ⁡ 3 7 n

Agora repara que quanto maior nosso expoente com uma base menor que 1, como é o caso da nossa base 3 7 , menor fica nosso número. Portanto o limite é:

lim n → ∞ ⁡ 3 7 n = 0

Isso só confirma o que já sabíamos lá do nosso Passo 1: que quando 0 < r < 1 , lim n → ∞ ⁡ r n   = 0  

Resposta

A sequência converge e seu limite é:

L = 0

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