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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.1 - Ex. 5

Resolva a equação diferencial.

5. 4 y^(' ') + 4 y^' + y = 0

Passo 1

A equação diferencial que está no enunciado só tem constantes multiplicando os termos que envolvem y, então uma solução dela é:

y = e^(r x)

Suas derivadas vão ser:

y ' = r e^(r x)

y ' ' = r^2 e^(r x)

Precisamos então encontrar r para podermos escrever a solução geral dessa EDO.

Passo 2

Substituindo o que calculamos na equação da questão:

4 r^2 e^(r x) + 4 r e^(r x) + e^(r x) = 0

Dividindo tudo por 4 e^(r x) , encontramos o polinômio característico:

r^2 + r + (1)/(4) = 0

Vamos reescrever ele:

(r + (1)/(2))^2 = (r + (1)/(2)) (r + (1)/(2)) = 0

E então teremos uma raiz dupla em r = - (1)/(2)

Passo 3

Como as raízes são reais e iguais, a solução geral tem a essa cara:

y = c_1 e^(r x) + c_2 x e^(r x)

Substituindo o r :

y = c_1 e^((1)/(2) x) + c_2 x e^((1)/(2) x)

E essa será nossa solução geral.

Resposta

y = c_1 e^((1)/(2) x) + c_2 x e^((1)/(2) x)

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