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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.5 - Ex. 20

Resolva o problema de valor inicial ( x^2 + 1 ) (d y)/(d x) + 3 x ( y - 1 ) = 0 , y (0) = 2 .

Passo 1

Dividindo ambos os termos por x , temos y^' + (3 x)/(x^2 + 1) y = (3 x)/(x^2 + 1) então a EDO é linear, com P (x) = (3 x)/(x^2 + 1) e Q (x) = (3 x)/(x^2 + 1) .

Passo 2

Lembrando que o fator integrante é dado por I (x) = e^(int P (x) d x) , ou seja I (x) = e^(int (3 x)/(x^2 + 1) t d t) = e^((3)/(2) ln ( x^2 + 1 )) = (x^2 + 1)^((3)/(2))

Passo 3

Sabendo que dado o fator integrante I ( x ) , a solução y ( x ) é dada por y (x) = (1)/(I ( x )) [int I (x) Q (x) d x + C] . Já sabemos que I (x) = (x^2 + 1)^((3)/(2)) e que Q (x) = (3 x)/(x^2 + 1) .

Passo 4

Então precisamos calcular int (x^2 + 1)^((3)/(2)) * (3 x)/(x^2 + 1) d x = int (x^2 + 1)^((3)/(2)) * (x^2 + 1)^(- 1) * 3 x d x = 3 int x (x^2 + 1)^((1)/(2)) d x . Fazendo x^2 + 1 = u , temos que d u = 2 x d x Então 3 int x (x^2 + 1)^((1)/(2)) d x = (3 int (u)^((1)/(2)) d u)/(2) = (3)/(2) * (2)/(3) u^((3)/(2)) = (x^2 + 1)^((3)/(2)) e por fim y (x) = (1)/((x^2 + 1)^((3)/(2))) [(x^2 + 1)^((3)/(2)) + C]

Passo 5

Sabemos que y (0) = 2 . Então (1)/((0^2 + 1)^((3)/(2))) [(0^2 + 1)^((3)/(2)) + C] = 2 . segue que C = 1

Resposta

y (x) = (1)/((x^2 + 1)^((3)/(2))) [(x^2 + 1)^((3)/(2)) + 1]

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