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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.5 - Ex. 30

30. No circuito do exercício 29, R = 2   Ω ,   C = 0,01 F ,   Q 0 = 0 e E t = 10 s e n ( 60 t ) . Calcule a carga e a corrente no instante t .

Passo 1

Temos que R = 5 , C = 0,05 e E t = 10 s e n ( 60 t ) . Substituindo em R d Q d t + Q C = E ( t ) e chamando Q ' = d Q d t temos 2 Q ' + 1 0,01 Q = 10 s e n ( 60 t ) , isto é, 2 Q ' + 100 Q = 10 s e n ( 60 t ) .

Passo 2

Chamando d Q d t = Q ' para facilitar os cálculos e dividindo tudo por 2 , temos Q ' + 50 Q = 5 s e n ( 60 t ) . Então a EDO é linear com P t = 50 e q t = 5 s e n 60 t .

Passo 3

O fator integrante é dado por i t = e ∫ P t d t , ou seja, i t = e ∫ 50 d t = e 50 t .

Passo 4

Sabendo que dado o fator integrante i ( t ) , a solução Q ( t ) é dada por por Q t = 1 i ( t ) ∫ i t q t d t + C . Já sabemos que i t = e 50 t e q t = 5 s e n ( 60 t ) .

Passo 5

Então precisamos calcular ∫ e 50 t ⋅ 5 s e n 60 t d t = 5 ∫ e 50 t s e n 60 t d t . Vamos usar o método da integração por partes que é ∫ u d v = u v - ∫ v d u . Fazendo u = e 50 t e d v = s e n ( 60 t ) , temos que d u = 50 e 50 t e v = - cos ⁡ 60 t 60 . E então temos ∫ e 50 t s e n 60 t d t = - e 50 t cos ⁡ 60 t 60 + ∫ cos ⁡ 60 t 60 ⋅ 50 e 50 t d t . Agora precisamos calcular ∫ cos ⁡ 60 t 60 ⋅ 50 e 50 t = 5 6 ∫ cos ⁡ 60 t e 50 t d t .

Passo 6

Vamos aplicar em ∫ cos ⁡ 60 t e 50 t d t o método da integração por partes. Vamos fazer u = e 50 t e d v = cos ⁡ ( 60 t ) , então d u = 50 e 50 t e v = s e n 60 t 60 . E então temos ∫ cos ⁡ 60 t e 50 t d t = e 50 t s e n 60 t 60 - ∫ s e n 60 t 50 e 50 t 60 d t .   Agora vamos substituir na primeira equação que encontramos.

Passo 7

∫ e 50 t s e n 60 t d t = - e 50 t cos ⁡ 60 t 60 + ∫ cos ⁡ 60 T 60 ⋅ 50 e 50 t d t = - e 50 t cos ⁡ 60 t 60 + 5 6 e 50 t s e n 60 t 60 - ∫ s e n 60 t 50 e 50 t 60 d t

E então temos

∫ e 50 t s e n 60 t d t = - e 50 t cos ⁡ 60 t 60 + 5 6 e 50 t s e n 60 t 60 - ∫ s e n 60 t 50 e 50 t 60 d t

∫ e 50 t s e n 60 t d t = - e 50 t cos ⁡ 60 t 60 + 5 6 ⋅ e 50 t s e n 60 t 60 - 5 6 ⋅ ∫ s e n 60 t 50 e 50 t 60 d t

∫ e 50 t s e n 60 t d t = - e 50 t cos ⁡ 60 t 60 + 5 6 ⋅ e 50 t s e n 60 t 60 - 5 6 ⋅ 1 60 ∫ s e n 60 t e 50 t d t

∫ e 50 t s e n 60 t d t = - e 50 t cos ⁡ 60 t 60 + 1 720 e 50 t s e n 60 t - 1 720 ∫ s e n 60 t e 50 t d t

∫ e 50 t s e n 60 t d t = - e 50 t cos ⁡ 60 t 60 + 1 720 e 50 t s e n 60 t - 1 720 ∫ s e n 60 t e 50 t d t

∫ e 50 t s e n 60 t d t + 1 720 ∫ s e n 60 t e 50 t d t = - e 50 t cos ⁡ 60 t 60 + 1 720 e 50 t s e n 60 t

721 720 ∫ e 50 t s e n 60 t d t = - e 50 t cos ⁡ 60 t 60 + 1 720 e 50 t s e n 60 t

∫ e 50 t s e n 60 t d t = 720 721 - e 50 t cos ⁡ 60 t 60 + 1 720 e 50 t s e n 60 t

∫ e 50 t s e n 60 t d t = - 12 721 e 50 t cos ⁡ 60 t + 1 721 e 50 t s e n 60 t

Passo 8

Então 5 ∫ e 20 t s e n 60 t d t = 5 - 12 721 e 50 t cos ⁡ 60 t + 1 721 e 50 t s e n 60 t = 5 721 - 12 e 50 t cos ⁡ 60 t + e 50 t s e n 60 t . E A solução é dada por Q t = 1 e 50 t 5 721 - 12 e 50 t cos ⁡ 60 t + e 50 t s e n 60 t + C = 5 721 - 12 cos ⁡ 60 t + s e n 60 t + C e - 50 t   .

Passo 9

Sabemos que Q 0 = 0 , então 5 721 - 12 cos ⁡ 60 ⋅ 0 + s e n 60 ⋅ 0 + C e - 50 ⋅ 0 = 0 , e então - 12 + C = 0 e C = 12 e a solução é dada por Q t = 5 721 - 12 cos ⁡ 60 t + s e n 60 t + 12 e - 50 t   .

Passo 10

Sabemos que I = d Q / d t . Então I t = 5 721 12 ⋅ 60   s e n 60   t + 60 ⋅ cos ⁡ 60 t

Resposta

Q t = 5 721 - 12 cos ⁡ 60 t + s e n 60 t + 12 e - 50 t

I t = 5 721 12 ⋅ 60   s e n 60   t + 60 ⋅ cos ⁡ 60 t

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