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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 1b

Calcule

(d x)/(d t) = 2 x - 1

Passo 1

Por Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem entendemos uma equação do tipo:

(d x)/(d t) = x g (t) + f (t)

Teremos esse resultado:

x = k e^(int g (t) d t) + e^(int g (t) d t) int f (t) e^(- int g (t) d t) d t (k in R)

Para isso precisamos achar um fator integrante e multiplicar dos dois lados, sendo um o lado que tem apenas os termos com x e o outro lado o f (t) , o fator integrante será:

e^(- int g (t) d t)

Para o nosso caso o fator integrante será:

e^(- int 2 d t) = e^(- 2 t)

Assim fazemos:

(d x)/(d t) - x g (t) = f (t)

[(d x)/(d t) - x g (t)] e^(- int g (t) d t) = f (t) e^(- int g (t) d t)

Vemos que [(d x)/(d t) - x g (t)] e^(- int g (t) d t) nada mais é que uma derivada do produto do tipo:

(d (x e^(- int g (t) d t)))/(d t) = [(d x)/(d t) - x g (t)] e^(- int g (t) d t)

Assim:

[(d (x e^(- int g (t) d t)))/(d t)] = f (t) e^(- int g (t) d t)

Agora faremos integral dos dois lados:

int [(d (x e^(- int g (t) d t)))/(d t)] d t = int f (t) e^(- int g (t) d t) d t

x e^(- int g (t) d t) + k = int f (t) e^(- int g (t) d t) d t

Como k é uma contante, tanto faz o sinal que colocamos:

x e^(- int g (t) d t) = int f (t) e^(- int g (t) d t) d t + k

Por fim:

x = k e^(int g (t) d t) + e^(int g (t) d t) int f (t) e^(- int g (t) d t) d t (k in R)

Para o nosso caso teremos:

x = k e^(2 t) + e^(2 t) int - e^(- 2 t) d t =

Passo 2

Vamos fazer a substituição na integral para u = - 2 t -> d u = - 2 d t

x = k e^(2 t) + e^(2 t) int - (- (1)/(2)) e^u d u =

x = k e^(2 t) + e^(2 t) xx (1)/(2) e^u =

Voltando pra variável t :

x = k e^(2 t) + e^(2 t) xx (1)/(2) e^(- 2 t) =

k e^(2 t) + e^(2 t) ((1)/(2) e^(- 2 t)) = k e^(2 t) + (1)/(2)

Resposta

x (t) = k e^(2 t) + (1)/(2)

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