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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 16

Resolva o problema de valor inicial t (d y)/(d t) + 2 y = t^3 , t > 0 , y (1) = 0

Passo 1

Dividindo ambos os lados por t , temos que y^' + (2)/(t) y = t^2 é linear, com P (t) = (2)/(t) e Q (t) = t^2 .

Passo 2

Sabendo que dado o fator integrante I ( t ) , a solução y ( t ) é dada por y (t) = (1)/(I ( t )) [int I (t) Q (t) d t + C] . Já sabemos que I (t) = t^2 e que Q (t) = t^2 .

Passo 3

Então precisamos calcular int t^2 t^2 d t = int t^4 d t = (t^5)/(5) . Então y (t) = (1)/(t^2) [(t^5)/(5) + C] .

Passo 4

Sabemos que y (1) = 0 . Então (1)/(1^2) [(1^5)/(5) + C] = 0 . segue que C = (1)/(5)

Resposta

(t) = (1)/(t^2) [(t^5)/(5) + (1)/(5)]

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