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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 11

Resolva a equação diferencial

x y^' + 2 y = 1 - x^(- 1)

Passo 1

A EDO que precisamos resolver é linear e de primeira ordem. É possível escrevê-la da seguinte forma:

y^' + p (x) y = q ( x )

Equações diferenciais que conseguem ser escritas desta forma, para resolvê-las, precisamos calcular um fator integrante v e multiplicar ambos os membros. Este fator integrante é dado por:

v = e^(int p (x) d x)

Após fazer a multiplicação, conseguiremos escrever a EDO da seguinte forma:

(d)/(d x) (v y) = v * q ( x )

E ai, é só integrar ambos os membros. Fácil né!

Passo 2

Começaremos por reescrever a nossa EDO na forma y^' + p (x) y = q (x) . Portanto, temos:

x y^' + 2 y = 1 - x^(- 1)

y^' + (2)/(x) * y = (1)/(x) - (1)/(x^2)

Portanto a função p (x) = 2 // x . Já sabemos a função relativa ao nosso fator integrante.

Passo 3

Agora, calcularemos o fator integrante! Ele é dado por:

v = e^(int p (x) d x)

v = e^(e^(int (2)/(x) d x)) = e^(2 ln |x|)

v = e^(ln (|x|)^2 ) = e^(ln x^2) = x^2

Agora sim. Já obtemos nosso fator integrante. Observem que não é necessário obter a família de primitivas que resolvem a integral. Basta pegar uma solução particular só.

Passo 4

Vamos multiplicar a EDO pelo fator integrante. Portanto, temos:

v * (y^' + (2)/(x) * y) = v * ((1)/(x) - (1)/(x^2))

x^2 * ((d y)/(d x) + (2)/(x) * y) = x^2 * ((1)/(x) - (1)/(x^2))

(d)/(d x) [x^2 * y] = x - 1

Agora, basta integrarmos ambos os lados. Desta forma, obteremos:

x^2 * y = int ( x - 1 ) d x

y = (1)/(x^2) * ((x^2)/(2) - x + k)

Portanto,

y = (1)/(2) - x^(- 1) + k * x^(- 2)

Resposta

y = (1)/(2) - x^(- 1) + k * x^(- 2)

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