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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 123

Resolva o problema de valor inicial.

(d^2 r)/(d t^2) = 15 sqrt(t) + (3)/(sqrt(t)) ; r^' (1) = 8 , r (1) = 0

Passo 1

Para resolver esse problema, vamos integrar dos dois lados da equação duas vezes e em seguida encontrar os valores das constantes.

(d r)/(d t) = int ( 15 sqrt(t) + (3)/(sqrt(t)) ) d t + A

(d r)/(d t) = (15 t^((3)/(2)))/((3)/(2)) + (3 t^((1)/(2)))/((1)/(2)) + A

int d r = int ((15 t^((3)/(2)))/((3)/(2)) + (3 t^((1)/(2)))/((1)/(2)) + A) d t

r = (15.2)/(3) . (t^((5)/(2)))/((5)/(2)) + 3.2 . (t^((3)/(2)))/((3)/(2)) + A . t + B

r = 4 t^((5)/(2)) + 4 t^((3)/(2)) + A t + B

Passo 2

Tendo a primitiva, podemos encontrar o valor de c, usando que r^' (1) = 8 , r (1) = 0 :

(d r)/(d t) = r^' (t) = r^' (1) = (15)/((3)/(2)) . 1 + (3)/((1)/(2)) . 1 + A = 8

10 + 6 + A = 8

A = - 8

r = 4 t^((5)/(2)) + 4 t^((3)/(2)) + A t + B

r (1) = 4 + 4 - 8 + B = 0

B = 0

Passo 3

Portanto, temos que a função é:

r = 4 t^((5)/(2)) + 4 t^((3)/(2)) - 8 t

Resposta

r = 4 t^((5)/(2)) + 4 t^((3)/(2)) - 8 t

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