Resolva o problema de valor inicial.

(d^2r)/(dt^2) = 15 \* raiz(t) + 3/raiz(t) ; r'(1) = 8 , r(1) = 0

Passo 1

Para resolver esse problema, vamos integrar dos dois lados da equação duas vezes e em seguida encontrar os valores das constantes.

d r d t = ∫ ( 15 t + 3 t ) d t + A

d r d t = 15 t 3 2 3 2 + 3 t 1 2 1 2 + A

∫ d r = ∫ 15 t 3 2 3 2 + 3 t 1 2 1 2 + A d t

r = 15.2 3 . t 5 2 5 2 + 3.2 . t 3 2 3 2 + A . t + B

r = 4 t 5 2 + 4 t 3 2 + A t + B

Passo 2

Tendo a primitiva, podemos encontrar o valor de c, usando que     r ' 1 = 8   ,   r 1 = 0 :

d r d t = r ' t = r ' 1 = 15 3 2 . 1 + 3 1 2 . 1 + A = 8

10 + 6 + A = 8

A = - 8

r = 4 t 5 2 + 4 t 3 2 + A t + B

r 1 = 4 + 4 - 8 + B = 0

B = 0

Passo 3

Portanto, temos que a função é:

r = 4 t 5 2 + 4 t 3 2 - 8 t

Resposta

r = 4 t 5 2 + 4 t 3 2 - 8 t

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