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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 131

Encontrar os máximos e mínimos absolutos da função

f x = e x x 4 + 1 .

Passo 1

Os “candidatos” a máximo e mínimo absolutos são as raízes da primeira derivada. Para achar as raízes da primeira derivada, fazemos:

f ' x = e x x 4 + 1 1 x 4 + 1 + x - 1 2 x 4 + 1 - 3 2 4 x 3 = 0 ⇒ x 4 + 1 - 1 2 = 2 x 4 x 4 + 1 - 3 2 ⇒

⇒ 2 x 4 x 4 + 1 = 1 ⇒ 2 x 4 = x 4 + 1 ⇒ x 4 = 1 ⇒ x = - 1   o u   x = 1

Passo 2

É preciso saber se essas raízes são pontos de máximo, de mínimo ou de inflexão. Para isso, substituímos os seus valores na segunda derivada da função:

f ' ' x = e x x 4 + 1 x 4 + 1 - 1 2 - 2 x 4 x 4 + 1 - 3 2 ' =

= e x x 4 + 1 x 4 + 1 - 1 2 - 2 x 4 x 4 + 1 - 3 2 2 + e x x 4 + 1 - 1 2 x 4 + 1 - 3 2 4 x 3 - 8 x 3 x 4 + 1 - 3 2 - 2 x 4 - 3 2 x 4 + 1 - 5 2 4 x 3 =

= e x x 4 + 1 x 4 + 1 1 - 2 x 4 x 4 + 1 2 + 2 x 3 x 4 + 1 - 1 2 5 x 4 x 4 + 1 - 5

f ' ' - 1 = e - 1 - 1 4 + 1 - 1 4 + 1 1 - 2 - 1 4 - 1 4 + 1 2 + 2 - 1 3 - 1 4 + 1 - 1 2 5 - 1 4 - 1 4 + 1 - 5 = 5 e - 1 2 2 2

f ' ' 1 = e 1 1 4 + 1 1 4 + 1 1 - 2 ∙ 1 4 1 4 + 1 2 + 2 ∙ 1 3 1 4 + 1 - 1 2 5 ∙ 1 4 1 4 + 1 - 5 = - 5 e - 1 2 2 2

Portanto, x = - 1 é ponto de mínimo local e x = 1 é ponto de máximo local.

Passo 3

É preciso analisar como a função se comporta quando x → ± ∞ . Para isso, calculam-se os limites:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → + ∞ ⁡ e x x 4 + 1 = 1

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ e x x 4 + 1 = 1

Passo 4

O mínimo local é menor que extremos da função, logo ele será também o mínimo absoluto. O máximo local, por outro lado, é menor que os extremos da função, não sendo o máximo absoluto. Portanto, a função não possui máximo absoluto.

Resposta

Mínimo absoluto:

1 , - 5 e - 1 2 2 2

Máximo absoluto: não há.

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