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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 17.1 - Ex. 21

Resolva o problema de valor inicial

y^(' ') - 6 y^' - 10 y = 0

y (0) = 2 , y^' (0) = 3

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes (pois todos os coeficientes são constantes kkk) e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero.

Passo 2

Com isso, vamos supor uma solução do tipo:

y (x) = A e^(k x)

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y^' (x) = A k e^(k x)

y^(' ') (x) = A k^2 e^(k x)

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k^2 A e^(k x) - 6 A e^(k x) - 10 A e^(k x) = 0

Dividindo essa equação por A e^(k t) temos:

k^2 - 6 k - 10 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Passo 3

Para determinar essas raízes, vamos usar a (mais famosa ainda) fórmula de Bháskara:

k = (- ( - 6 ) +- sqrt(( - 6 )^2 + 4.1 . 10))/(2.1) = (6 +- sqrt(36 + 40))/(2)

Agora simplificando ao máximo temos:

k = (6 +- 2 sqrt(19))/(2)

k = 3 +- sqrt(19)

Então possuímos duas raízes reais distintas r_1 e r_2 de modo que:

y (x) = c_1 e^(r_1 x) + c_2 e^(r_2 x)

y (x) = c_1 e^((3 + sqrt(19)) x) + c_2 e^((3 - sqrt(19)) x)

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

Passo 4

As duas condições de contorno são:

y (0) = 2

y^' (0) = 3

A primeira condição de contorno nos diz que y (0) = 3 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y (0) = c_1 e^((3 + sqrt(19)) 0) + c_2 e^((3 - sqrt(19)) 0) = 2

Logo:

c_1 + c_2 = 2

c_1 = 2 - c_2

Agora pra gente aplicar a segunda condição, teremos que primeiro encontrar a derivada de y (x) , logo:

y^' (x) = (3 + sqrt(19)) c_1 e^((3 + sqrt(19)) x) + (3 - sqrt(19)) c_2 e^((3 - sqrt(19)) x)

Então e y^' (0) = 3 vamos obter que:

y^' (0) = (3 + sqrt(19)) c_1 e^((3 + sqrt(19)) 0) + (3 - sqrt(19)) c_2 e^((3 - sqrt(19)) 0)

y^' (0) = (3 + sqrt(19)) c_1 + (3 - sqrt(19)) c_2 = 3

Substituindo c_1 :

(3 + sqrt(19)) (2 - c_2) + (3 - sqrt(19)) c_2 = 3

Logo:

c_2 = (3 + 2 sqrt(19))/(2 sqrt(19))

c_2 = (3)/(2 sqrt(19)) + 1

E c_1 será:

c_1 = 2 - ((3)/(2 sqrt(19)) + 1)

c_1 = 1 - (3)/(2 sqrt(19))

c_1 = (2 sqrt(19) - 3)/(2 sqrt(19))

Portanto, y (x) será:

y (x) = ((2 sqrt(19) - 3)/(2 sqrt(19))) e^((3 + 2 sqrt(19)) x) + ((3 + 2 sqrt(19))/(2 sqrt(19))) e^((3 - 2 sqrt(19)) x)

Resposta

y (x) = ((2 sqrt(19) - 3)/(2 sqrt(19))) e^((3 + 2 sqrt(19)) x) + ((3 + 2 sqrt(19))/(2 sqrt(19))) e^((3 - 2 sqrt(19)) x)

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