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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 21

Resolva o problema de valor inicial:

x y^' + (x - 2) y = 3 x^3 e^(- x) , y (1) = 0

Passo 1

A gente tem que chegar nessa forma: y^' + P (x) y = Q ( x ) :

Vamos dividir tudo por x ...

y^' + ((x - 2) y)/(x) = 3 x^2 e^(- x)

Agora vamos ao fator integrante v (y) = e^(int P (x)) ...

O P ( x ) é (x - 2)/(x) certo? Então vamos integrar isso...

int (x - 2)/(x) d x = int 1 - (2)/(x) d x = x - 2 ln x + C

O fator integrante então é:

v (x) = e^(x - 2 ln x) = (e^x)/(x^2)

Passo 2

Então agora nós montamos a equação, da forma:

y = (1)/(v (x)) int v (x) Q (x) d x

A nossa fica:

y = (1)/((e^x)/(x^2)) int (e^x)/(x^2) (3 x^2 e^(- x)) d x

y = (x^2)/(e^x) int 3 d x

y = (x^2)/(e^x) ( 3 x + C )

Usamos o valor inicial para determinarmos a constante...

Passo 3

Como y (1) = 0 , substituímos na equação encontrada e achamos o valor de C :

y (1) = (1^2)/(e^1) (3 (1) + C) = 0

(1)/(e) (3 + C) = 0

3 + C = 0 -> C = - 3

Então a solução da equação é:

y = (x^2)/(e^x) ( 3 x - 3 )

Resposta

y = (x^2)/(e^x) ( 3 x - 3 )

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