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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.1 - Ex. 1e

  1. Ache a solução geral.

e) (d x)/(d t) - 2 x = e^(2 t)

Passo 1

Foi provado no livro do Guidorizzi a seguinte solução:

(d x)/(d t) + a x = f (t)

São as funções da forma:

x = k e^(- a t) + e^(- a t) int e^(a t) f (t) d t

Passo 2

Aplicando em nossa questão:

a = - 2 , f (t) = e^(2 t)

x = k e^(- (- 2) t) + e^(- (- 2) t) int e^((- 2) t) e^(2 t) d t

Passo 3

Resolvendo,

x = k e^(2 t) + e^(2 t) int e^(- 2 t) e^(2 t) d t

= k e^(2 t) + e^(2 t) int (e^(2 t))/(e^(2 t)) d t

= k e^(2 t) + e^(2 t) int 1 * d t

= k e^(2 t) + e^(2 t) t

= k e^(2 t) + t e^(2 t)

Resposta

x = e^(2 t) (k + t)

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