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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 44a

Resolva os problemas de valor inicial.

(d y)/(d x) = (1)/((2 x)^3) , y (1) = 0

Passo 1

Bom galera, pra começar a gente primeiro precisa encontrar a função y , pra isso, é só a gente integrar, e ficamos assim:

y = int (1)/((2 x)^3) d x

Pra facilitar nossa vida a gente pode fazer uma substituição, pra isso vamos chamar u = 2 x , logo d u = 2 d x , assim nossa integral fica:

int (1)/(u^3) 2 d u = 2 int u^(- 3) d u

= 2 ((u^(- 2))/(- 2)) + C = - (1)/(u^2) + C

A gente não pode esquecer de voltar pra variável x :

-> y = - (1)/((2 x)^2) + C

Passo 2

Beleza, agora o problema de valor inical, a gente usa o que temos para formar uma equação e encontrar-mos o valor da constante C :

y (1) = 0 = - (1)/((2 x)^2) + C

-> 0 = - (1)/(4) + C

-> C = 0 + (1)/(4) = (1)/(4)

Passo 3

Show de bola pessoal, por fim a gente só substitui na integral que já calculamos no passo 1, e então ficamos com a função inicial:

y (x) = - (1)/((2 x)^2) + (1)/(4)

Resposta

y (x) = - (1)/((2 x)^2) + (1)/(4)

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