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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 29

Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada e aplicando as fórmulas revisadas nesta seção.

∫ x 4 - x 2 d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra começarmos esse exercício, podemos simplesmente usar a dica dada no enunciado e procurar por alguma fórmula de integração na lista de integrais que se encontra na página 489 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON.

Procurando pela lista, iremos conseguir encontrar uma fórmula que se identifica com a nossa integral.

Passo 2

Como nossa integral problema não possui uma forma adequada para calcular, precisamos reescrevê-la de uma forma que consigamos resolver o exercício.

Então, aplicando a substituição simples com

u = - x 2   e   d u = - 2 x d x

Teremos:

∫ x 4 - x 2 d x = ∫ 4 u - d u 2 = - 1 2 ∫ 4 u d u

Passo 3

Agora, nossa integral tem outra cara e tem a mesma forma da fórmula 6 já definida na lista de integrais. Então, usando-a:

∫ b u d u = b u ln ⁡ b + C

Vamos encontrar:

- 1 2 ∫ 4 u d u = - 1 2 4 u ln ⁡ 4 + C

Agora, substituindo a variável de origem:

∫ x 4 - x 2 d x = - 1 2 4 - x 2 ln ⁡ 4 + C = - 4 - x 2 2 ln ⁡ 4 + C

Lembrando da propriedade de logaritmos dada por:

a ln ⁡ x = ln ⁡ x a

Temos, portanto:

∫ x 4 - x 2 d x = - 4 - x 2 2 ln ⁡ 4 + C = - 4 - x 2 ln ⁡ 4 2 + C

∫ x 4 - x 2 d x = - 4 - x 2 ln ⁡ 16 + C

Resposta

∫ x 4 - x 2 d x = - 4 - x 2 ln ⁡ 16 + C

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