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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 71

Resolva os problemas de valor inicial:

(d y)/(d t) = - e^(2 t) , y (0) = 6

Passo 1

Isso aí é uma EDO separável. A gente faz o seguinte:

d y = - e^(2 t) d t

E aí pra resolver a gente integra os dois lados:

int d y = int - e^(2 t) d t

Bom, essa do lado direto vai ser y mesmo né, a gente precisa integrar o outro lado então...

Passo 2

Vamos fazer essa aqui:

int - e^(2 t) d t

Vamos fazer u = 2 t , teremos d u = 2 d t . Aí substituindo a gente fica com:

(1)/(2) int - e^u d u

Aí integrando:

- (1)/(2) e^u + C

A gente volta pra variável t :

- (1)/(2) e^(2 t) + C

Passo 3

Vamos achar o valor desse C aí agora. O enunciado deu pra gente que y (0) = 6 . Vamos jogar isso ali agora que a gente já mata esse C :

- (1)/(2) e^(2 * 0) + C = 6

- (1)/(2) + C = 6

C = 6 + (1)/(2)

C = (13)/(2)

Nosso resultado então ficou:

y = - (1)/(2) e^(2 t) + (13)/(2)

Prontinho!

Resposta

y = - (1)/(2) e^(2 t) + (13)/(2)

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