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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.Exercícios de Revisão - Ex. 13

Resolva (x^2 + 4) (d y)/(d x) = 2 x - 8 x y sujeito a y (0) = - 1 .

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Bora resolver essa equação aí?

(x^2 + 4) (d y)/(d x) = 2 x - 8 x y

Dividindo tudo por x^2 + 4 , temos:

(d y)/(d x) = (2 x - 8 x y)/(x^2 + 4)

(d y)/(d x) + (8 x y)/(x^2 + 4) = (2 x)/(x^2 + 4)

E essa é uma equação linear! Bora resolver!

Passo 2

Vamos lá, a solução de uma equação linear é:

y = e^(- int p (x) d x) [int e^(int p (x) d x) q (x) d x]

Onde no nosso caso temos:

p (x) = (8 x)/(x^2 + 4)

q (x) = (2 x)/(x^2 + 4)

Substituindo, ficamos com:

y = e^(- int (8 x)/(x^2 + 4) d x) [int e^(int (8 x)/(x^2 + 4) d x) * ((2 x)/(x^2 + 4)) d x]

y = e^(- 4 ln | x^2 + 4 |) [int e^(4 ln |x^2 + 4|) * ((2 x)/(x^2 + 4)) d x]

y = (1)/((x^2 + 4)^4) [int (x^2 + 4)^4 ((2 x)/(x^2 + 4)) d x]

y = (1)/((x^2 + 4)^4) [int 2 x (x^2 + 4)^3 d x]

y = (1)/((x^2 + 4)^4) [(1)/(4) (x^2 + 4)^4 + C]

y = (1)/(4) + (C)/((x^2 + 4)^4)

Passo 3

E agora vamos encontrar o C , usando o valor inicial y (0) = - 1 :

- 1 = (1)/(4) + (C)/(4^4)

- 1 - (1)/(4) = (C)/(256)

- (5)/(4) = (C)/(256)

C = - 320

Então a solução do nosso PVI é:

y = (1)/(4) - (320)/((x^2 + 4)^4)

Resposta

y = (1)/(4) - (320)/((x^2 + 4)^4)

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