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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 22a

Resolva o seguinte problema de valor inicial para u como uma função de t:

d u d t + k m u = 0   S e n d o   k   e   m   c o n s t a n t e s   p o s i t i v a s       u 0 = u 0

a. como uma equação linear de primeira ordem.

Passo 1

Vamos fazer primeiro a letra a. Temos que a EDO em questão é do tipo linear. Essa tem um formato de:

u ` + P t u = f

Para resolver essa questão temos que calcular primeiro o fator integrante v dado por:

v = e ∫ P ( t ) d t

e depois aplicar isso a seguinte expressão:

u = 1 v t ∫ f t ⋅ v t d t + c

Passo 2

Podemos reescrever nossa EDO da seguinte maneira:

d u d t + k m u = 0

Com as expressões acima podemos resolver a EDO. Vamos aqui nomear na nossa equação cada termo das expressões do passo 1.

P t = k / m

f = 0

Passo 3

Calculando o fator integrante temos:

v = e ∫ k m d t = e k m t

Passo 4

Substituindo na solução da edo, temos que:

u = 1 e k m t ∫ e k m t ⋅ 0 d t + c ⇒ y = c e k m t ⇒ c = A   c o n s t a n t e

Passo 5

Aplicando as condições de contorno, u ( 0 ) = u 0 , temos que:

u 0 = A e k t = A e 0 = A = u 0

Resposta

Então o resultado será:

u = u 0 e - k m t

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Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.53. d y d x = y y - x , no qual y 5 = 2 .
Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.51. x x - 2 y ' + 2 y = 0 , no qual y 3 = 6 .
Nos problemas 55-58, encontre uma solução contínua satisfazendo cada equação diferencial e a condição inicial dada.57. d y d x + 2 x y = f x ,f x = x ,0 ≤ x1 0 ,x ≥ 1 , no qual y 0 = 2 .
Nos problemas 55-58, encontre uma solução contínua satisfazendo cada equação diferencial e a condição inicial dada.55. d y d x + 2 y = f x ,f x = 1 ,0 ≤ x ≤ 3 0 ,x3 , no qual y 0 = 0 .
Nos problemas 55-58, encontre uma solução contínua satisfazendo cada equação diferencial e a condição inicial dada.56. d y d x + y = f x ,f x = 1 ,0 ≤ x ≤ 1 - 1 ,x1 , no qual y 0 = 1 .