Resolva o seguinte problema de valor inicial para u como uma função de t:

du/dt + k/m * u = 0 (Sendo k constantes positivas) u(0) = u₀

a. como uma equação linear de primeira ordem.

Passo 1

Vamos fazer primeiro a letra a. Temos que a EDO em questão é do tipo linear. Essa tem um formato de:

u ` + P t u = f

Para resolver essa questão temos que calcular primeiro o fator integrante v dado por:

v = e ∫ P ( t ) d t

e depois aplicar isso a seguinte expressão:

u = 1 v t ∫ f t ⋅ v t d t + c

Passo 2

Podemos reescrever nossa EDO da seguinte maneira:

d u d t + k m u = 0

Com as expressões acima podemos resolver a EDO. Vamos aqui nomear na nossa equação cada termo das expressões do passo 1.

P t = k / m

f = 0

Passo 3

Calculando o fator integrante temos:

v = e ∫ k m d t = e k m t

Passo 4

Substituindo na solução da edo, temos que:

u = 1 e k m t ∫ e k m t ⋅ 0 d t + c ⇒ y = c e k m t ⇒ c = A   c o n s t a n t e

Passo 5

Aplicando as condições de contorno, u ( 0 ) = u 0 , temos que:

u 0 = A e k t = A e 0 = A = u 0

Resposta

Então o resultado será:

u = u 0 e - k m t

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