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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 17

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 15-20: θ d y d θ + y = s e n   θ y ( π / 2 ) = 1

Passo 1

A EDO em questão e do tipo linear. Essa tem um formato de:

y ` + P θ y = f

Para resolver essa questão temos que calcular primeiro o fator integrante v dado por:

v = e ∫ P ( θ ) d θ

e depois aplicar isso a seguinte expressão:

y = 1 v θ ∫ f θ ⋅ v θ d θ + c

Passo 2

Podemos reescrever nossa EDO da seguinte maneira:

d y d θ + y θ = s e n   θ θ

Com as expressões acima podemos resolver a EDO. Vamos aqui nomear na nossa equação cada termo das expressões do passo 1.

P x = 1 θ

f = s e n   θ θ

Passo 3

Calculando o fator integrante temos:

v = e ∫ 1 θ d θ = e l n   θ

v = e l n   θ

ou usando a propriedade:

a b = e b l n   a

Temos:

v = θ

Passo 4

Substituindo na solução da edo, temos que:

y = 1 θ ∫ θ s e n   θ θ d θ ⇒ y = 1 θ ∫ s e n   θ d θ

Resolvendo a integral trigonométrica, temos que:

y = 1 θ - c o s   θ + c

Passo 5

Aplicando as condições de contorno, y ( π / 2 ) = 1 , temos que:

y ( π / 2 ) = 1 ( π / 2 ) - c o s   π / 2 + c = 1

1 ( π / 2 ) 0 + c = 1

c = π / 2

Resposta

Então o resultado será:

y = 1 θ - c o s   θ + c = π / 2

ou

y = - c o s   θ θ + π 2 θ

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