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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.2 - Ex. 16

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 15-20: t d y d t + 2 y = t 3 y ( 2 ) = 1

Passo 1

A EDO em questão e do tipo linear. Essa tem um formato de:

y ` + P t y = f

Para resolver essa questão temos que calcular primeiro o fator integrante v dado por:

v = e ∫ P ( t ) d t

Passo 2

Vamos reescrever a expressão do problema da seguinte forma:

t d y d t + 2 y = t 3 ⇒ d y d t + 2 y t = t 2

Com as expressões acima podemos resolver a EDO. Vamos aqui nomear na nossa equação cada termo das expressões do passo 1.

P t = 2 t

f = t 2

Passo 3

Calculando o fator integrante temos:

v = e ∫ 2 t d t = e 2 ∫ d t t = e 2 l n t

v = e 2 l n t

ou

v = t 2 devido a relação: a b = e b l n a

Passo 4

Agora iremos multiplicar a EDO em ambos os lados pelo fator integrante, e depois iremos integrar ambos os lados pela diferencial dt:

t 2 x d y d t + 2 y t = t 2 x t 2

t 2 d y d t + 2 t y = t 4

Podemos reescrever essa parte como:

d y d t t 2 ⋅ 2 y = t 4

Integrando em ambas as partes:

∫ d y d t t 2 ⋅ 2 y d t = ∫ t 4 d t

t 2 ⋅ y = t 5 5 + c

y = t 5 5 t 2 + c t 2 ⇒ y = t 3 5 + c t 2

Passo 5

Aplicando as condições de contorno, y ( 2 ) = 1 , temos que:

y 2 = 2 3 5 + c 2 2 = 1 ⇒ 8 5 + c 4 = 1

c 4 = 1 - 8 5 ⇒ c 4 = - 3 5

c = - 12 5

Resposta

Então o resultado será:

y = t 3 5 - 12 5 t 2

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