Resolva as seguintes equações para x pertence R :

a) sen^4(x) + cos^4(x) = 5/8

b) sen^6 x + cos^6 x = 5/8

c) sen^4(x) + cos^4(x) = 1/2

d) sen^6(x/2) + cos^6(x/2) = 7 / 16

e) sen^3(x) + cos^3(x) = 1

Passo 1

Opa galerinha, tudo certo?

Para resolver essa equação vamos relembrar algumas informações importante.

É necessário lembrar do ciclo trigonométrico, como podemos ver abaixo.

E da relação fundamental da trigonometria:

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Simbora! Fazer a questão!

Passo 2

Começando pela letra A.....

sen 4 ⁡ x + cos 4 ⁡ x =   5 / 8

De acordo com a teoria encontrada no livro:

sen 4 ⁡ x + cos 4 ⁡ x =   sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x 2 - 2 ∙ sen 2 ⁡ x ∙ cos 2 ⁡ x

Pela relação fundamental da trigonometria, o termo dentro dos parênteses equivale a 1. Assim:

sen 4 ⁡ x + cos 4 ⁡ x =   1 2 - 2 ∙ sen 2 ⁡ x ∙ cos 2 ⁡ x

Já o produto de seno e cosseno pode ser transformado em um seno da soma. Vamos deixar o 2 de fora e focar no produto das funções trigonométricas.

sen 4 ⁡ x + cos 4 ⁡ x =   1 2 - 2 ∙ sen ⁡ 2 x 2   2

sen 4 ⁡ x + cos 4 ⁡ x =   1 - 2 ⃥ ∙ sen 2 ⁡ 2 x 4 ⃥

sen 4 ⁡ x + cos 4 ⁡ x =   1 - sen 2 ⁡ 2 x 2

Beleza, então vamos substituir isso na equação da letra A.

Passo 3

sen 4 ⁡ x + cos 4 ⁡ x =   5 / 8

1 - sen 2 ⁡ 2 x 2 = 5 8

sen 2 ⁡ 2 x 2 = 1 - 5 8

sen 2 ⁡ 2 x 2 = 8 - 5 8

sen 2 ⁡ 2 x = 3 4

sen ⁡ 2 x = ± 3 2

Então, temos duas possibilidades:

Primeira para um seno positivo.

sen ⁡ 2 x = + 3 2

Esse valor de seno corresponde a de um ângulo notável, no caso, 60 graus.

sen ⁡ 2 x = + 3 2 → 2 x = π 3 → x = π 6 + k π

Segunda para um seno negativo.

sen ⁡ 2 x = - 3 2

Esse valor de seno corresponde a de um ângulo notável, no caso, 60 graus.

sen ⁡ 2 x = - 3 2 → 2 x = 4 π 3 → x = 2 π 3 + k π

Simbora pra letra B!

Resposta

a )   x = π 6 + k π ; x = 2 π 3 + k π

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