Enunciado

Resolva as seguintes equações para x ϵ R :

a) sen^4 x + cos^4 x = 5 // 8

b) sen^6 x + cos^6 x = 5 // 8

c) sen^4 x + cos^4 x = 1 // 2

d) sen^6 (x)/(2) + cos^6 (x)/(2) = 7 // 16

e) sen^3 x + cos^3 x = 1

Passo 1

Opa galerinha, tudo certo?

Para resolver essa equação vamos relembrar algumas informações importante.

É necessário lembrar do ciclo trigonométrico, como podemos ver abaixo.

E da relação fundamental da trigonometria:

sen^2 theta + cos^2 theta = 1

Simbora! Fazer a questão!

Passo 2

Começando pela letra A.....

sen^4 x + cos^4 x = 5 // 8

De acordo com a teoria encontrada no livro:

sen^4 x + cos^4 x = (sen^2 x + cos^2 x)^2 - 2 * sen^2 x * cos^2 x

Pela relação fundamental da trigonometria, o termo dentro dos parênteses equivale a 1. Assim:

sen^4 x + cos^4 x = 1^2 - 2 * sen^2 x * cos^2 x

Já o produto de seno e cosseno pode ser transformado em um seno da soma. Vamos deixar o 2 de fora e focar no produto das funções trigonométricas.

sen^4 x + cos^4 x = 1^2 - 2 * ((sen 2 x)/(2))^2

sen^4 x + cos^4 x = 1 - 2 ⃥ * (sen^2 2 x)/(4 ⃥)

sen^4 x + cos^4 x = 1 - (sen^2 2 x)/(2)

Beleza, então vamos substituir isso na equação da letra A.

Passo 3

sen^4 x + cos^4 x = 5 // 8

1 - (sen^2 2 x)/(2) = (5)/(8)

(sen^2 2 x)/(2) = 1 - (5)/(8)

(sen^2 2 x)/(2) = (8 - 5)/(8)

sen^2 2 x = (3)/(4)

sen 2 x = +- (sqrt(3))/(2)

Então, temos duas possibilidades:

Primeira para um seno positivo.

sen 2 x = + (sqrt(3))/(2)

Esse valor de seno corresponde a de um ângulo notável, no caso, 60 graus.

sen 2 x = + (sqrt(3))/(2) -> 2 x = (pi)/(3) -> x = (pi)/(6) + k pi

Segunda para um seno negativo.

sen 2 x = - (sqrt(3))/(2)

Esse valor de seno corresponde a de um ângulo notável, no caso, 60 graus.

sen 2 x = - (sqrt(3))/(2) -> 2 x = (4 pi)/(3) -> x = (2 pi)/(3) + k pi

Simbora pra letra B!

Resposta

a ) x = (pi)/(6) + k pi ; x = (2 pi)/(3) + k pi

Exercícios de Livros Relacionados

Dados: t g a = 2 e t g b = 1 , ache t g ( a - b ) .
Sabendo que t g 75 ° = 2 + sqrt(3) e t g 60 ° = sqrt(3) , calcule t g 15 ° .
Se 0a_n(pi)/(2) e cos a_n = (n)/(n + 1) , calcule cos (a_n)/(2)
A igualdade t g x = a * c o t g x + b * c o t g 2 x é cálida para todo x != (k pi)/(2) . Determine a e b.
Se a e b são ângulos positivos e inferiores a 180°, calcule s e n2 a e cos ⁡ 2 b , sabendo que sec ⁡ a = - 3 2 e cos ⁡ b = 1 3 .