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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 44

Resolve a integral abaixo:

44 –

int sec^6 x

Passo 1

int sec^6 x

Expandindo a integral:

int sec^2 x sec^2 x sec^2 x d x

int sec^2 x ( sec^2 x )^2 d x

Dado: sec^2 ( x ) = 1 + t g^2 ( x )

int sec^2 x (1 + t g^2 x)^2 d x

Passo 2

Utilizando o método de substituição udu:

u = t g (x)

d u = sec^2 ( x )

d x = (1)/(d u) = (1)/(sec^2 ( x ))

int sec^2 x * (1)/(sec^2 x) * (1 + u^2)^2 d u = int (1 + u^2)^2 d u

Resolvendo o notável:

int u^4 + 2 u^2 + 1 d u

Passo 3

Resolvendo a integral:

int u^4 + 2 u^2 + 1 d u

(u^5)/(5) + (2 u^3)/(3) + u + c

Substituindo dado: u = t g ( x )

(t g^5 x)/(5) + (2 t g^3 x)/(3) + t g x + c

Resposta

(1)/(5) t g^5 x + (2)/(3) t g^3 x + t g x + c

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