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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 13

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ e a x s e n   b x   d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = e a x ;

d u = a e a x   d x ;

d v = s e n   b x   d x ;

v = ∫ s e n   b x   d x = - 1 b cos ⁡ b x

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = e a x ⋅ - 1 b cos ⁡ b x - ∫ - 1 b cos ⁡ b x ⋅ a e a x   d x

∫ u d v = - e a x b cos ⁡ b x + a b ∫ e a x ⋅ cos ⁡ b x   d x

Passo 2

Utilizaremos outra integração por partes resolvermos o último termo:

u = e a x ;

d u = a e a x   d x ;

d v = cos ⁡ b x   d x ;

v = ∫ cos ⁡ b x   d x = 1 b s e n   b x .

∫ u d v = - e a x b cos ⁡ b x + a b ∫ e a x ⋅ cos ⁡ b x   d x = - e a x b cos ⁡ b x + a b e a x b s e n   b x - ∫ 1 b s e n   b x ⋅ a e a x d x

Há uma repetição do termo ∫ u d v ao longo da resolução da integral, então para não escrevermos uma integral totalmente confusa, faremos:

∫ u d v = - e a x b cos ⁡ b x + a b 2 e a x s e n   b x - a 2 b 2 ∫ u d v

1 + a 2 b 2 ∫ u d v = - e a x b cos ⁡ b x + a b 2 e a x s e n   b x

∫ u d v = b 2 a 2 + b 2 - e a x b cos ⁡ b x + a b 2 e a x s e n   b x

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

b 2 a 2 + b 2 - e a x b cos ⁡ b x + a b 2 e a x s e n   b x + c

Resposta

b 2 a 2 + b 2 - e a x b cos ⁡ b x + a b 2 e a x s e n   b x + c

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