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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 34

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ arccos ⁡ x d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = arccos ⁡ x ;

d u = - 1 1 - x 2 d x ;

d v = d x ;

v = ∫ d x = x .

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = arccos ⁡ x ⋅ x - ∫ x ⋅ - 1 1 - x 2 d x

∫ u d v = x ⋅ arccos ⁡ x + ∫ x 1 - x 2 d x

Aplicando uma substituição u   d u , temos:

u = 1 - x 2 ;

d u = - 2 x   d x .

∫ x 1 + x 2 d x = - 1 2 ∫ 1 u   d u = - u = - 1 - x 2

Voltando a integral original, temos:

∫ u d v = x ⋅ arccos ⁡ x - 1 - x 2

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

x ⋅ arccos ⁡ x - 1 - x 2 + c

Resposta

x ⋅ arccos ⁡ x - 1 - x 2 + c

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