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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 9

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ csc 3 ⁡ x d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = csc ⁡ x ;

d u = - csc ⁡ x ⋅ cot ⁡ x   d x ;

d v = csc 2 ⁡ x   d x ;

v = ∫ csc 2 ⁡ x   d x = - cot ⁡ x .

∫ csc 3 ⁡ x d x = ∫ csc ⁡ x ⋅ csc 2 ⁡ x d x

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = csc ⁡ x ⋅ - cot ⁡ x - ∫ - cot ⁡ x ⋅ - csc ⁡ x ⋅ cot ⁡ x d x

∫ u d v = - csc ⁡ x ⋅ cot ⁡ c - ∫ csc ⁡ x ⋅ cot 2 ⁡ x d x

∫ u d v = - csc ⁡ x ⋅ cot ⁡ c - ∫ cos 2 ⁡ x s e n 2 x ⋅ 1 s e n   x   d x =   - csc ⁡ x ⋅ cot ⁡ c - ∫ cos 2 ⁡ x s e n 3 x   d x

Passo 2

Devemos aplicar outra integração por partes no último termo:

u = c os ⁡ x ;

d u = - s e n   x   d x ;

d v = cos ⁡ x s e n 3   x   d x ;

v = ∫ cos ⁡ x s e n 3   x   d x = - 1 2   s e n 2   x .

∫ u d v =   - csc ⁡ x ⋅ cot ⁡ c - ∫ cos 2 ⁡ x s e n 3 x   d x = - csc ⁡ x ⋅ cot ⁡ c - [ cos ⁡ x ⋅ - 1 2   s e n 2   x - ∫ - 1 2   s e n 2   x ⋅ - s e n   x   d x

∫ u d v = = - csc ⁡ x ⋅ cot ⁡ c + cos ⁡ x 2   s e n 2   x + 1 2 ∫ csc ⁡ x   d x

∫ u d v = = - csc ⁡ x ⋅ cot ⁡ c + 1 2 ⋅ cos ⁡ x s e n   x ⋅ 1 s e n   x + 1 2 ln ⁡ | csc ⁡ x - cot ⁡ x |

∫ u d v = = - csc ⁡ x ⋅ cot ⁡ c + 1 2 cot ⁡ x ⋅ csc ⁡ x + + 1 2 ln ⁡ | csc ⁡ x - cot ⁡ x |

∫ u d v = = - 1 2 csc ⁡ x ⋅ cot ⁡ c + + 1 2 ln ⁡ | csc ⁡ x - cot ⁡ x |

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

- 1 2 csc ⁡ x ⋅ cot ⁡ c + + 1 2 ln ⁡ | csc ⁡ x - cot ⁡ x | + c

Resposta

- 1 2 csc ⁡ x ⋅ cot ⁡ c + + 1 2 ln ⁡ | csc ⁡ x - cot ⁡ x |

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