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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 36

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ 1 x 3 e 1 x d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = 1 x ;

d u = - 1 x 2 d x ;

d v = 1 x 2 e 1 x   d x ;

v = ∫ 1 x 2 e 1 x   d x = - e 1 x .

∫ 1 x 3 e 1 x d x = ∫ 1 x ⋅ 1 x 2 e 1 x d x

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = 1 x ⋅ - e 1 x - ∫ - e 1 x ⋅ - 1 x 2 d x = - 1 x ⋅ e 1 x - ∫ 1 x 2 ⋅ e 1 x d x

Passo 2

Utilizaremos uma substituição u   d u :

u = 1 x ;

d u = - 1 x 2 d x .

∫ 1 x 2 ⋅ e 1 x d x = ∫ - e u d u = - e u = - e 1 x

Voltando a integral original:

∫ u d v = = - 1 x ⋅ e 1 x - ∫ 1 x 2 ⋅ e 1 x d x

∫ u d v = - 1 x ⋅ e 1 x + e 1 x

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

- 1 x ⋅ e 1 x + e 1 x + c

Resposta

- 1 x ⋅ e 1 x + e 1 x + c

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Uma partícula se movo ao longo do eixo x com uma função velocidade v t = t 3 s e n ( t ) . Quão longe viaja a partícula do tempo t = 0 a t = π?
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Em cada parte, use a integração por partes ou outros métodos para deduzir a fórmula de redução.(a) ∫ sec n ⁡ x d x = sec n - 2 ⁡ x t g ( x ) n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x d x (b) ∫ t g n x d x =