Sejam x , y dois reais quaisquer com x > 0 e y > 0 . Mostre que

raiz(xy) ≤ (x + y) / 2

Passo 1

O quadrado de um número é sempre não negativo, então podemos escrever a inequação:

x - y 2 ≥ 0

x 2 - 2 x y + y 2 ≥ 0

Sem alterar a inequação, vamos somar + 4 x y nos dois lados:

x 2 - 2 x y + y 2 + 4 x y ≥ 4 x y

x 2 + 2 x y + y 2 ≥ 4 x y

Passo 2

Agora, perceba que o lado esquerdo da inequação é um quadrado perfeito:

x + y 2 ≥ 4 x y

Como x > 0 e y > 0 , podemos extrair a raiz quadrada dos dois lados, obtendo:

x + y ≥ 2 x y

x y ≤ x + y 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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