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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.6 - Ex. 8

Sejam x , y dois reais quaisquer com x > 0 e y > 0 . Mostre que

sqrt(x y) <= (x + y)/(2)

Passo 1

O quadrado de um número é sempre não negativo, então podemos escrever a inequação:

(x - y)^2 >= 0

x^2 - 2 x y + y^2 >= 0

Sem alterar a inequação, vamos somar + 4 x y nos dois lados:

x^2 - 2 x y + y^2 + 4 x y >= 4 x y

x^2 + 2 x y + y^2 >= 4 x y

Passo 2

Agora, perceba que o lado esquerdo da inequação é um quadrado perfeito:

(x + y)^2 >= 4 x y

Como x > 0 e y > 0 , podemos extrair a raiz quadrada dos dois lados, obtendo:

x + y >= 2 sqrt(x y)

sqrt(x y) <= (x + y)/(2)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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