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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.6 - Ex. 8

Sejam x , y dois reais quaisquer com x > 0 e y > 0 . Mostre que

sqrt(x y) <= (x + y)/(2)

Passo 1

O quadrado de um número é sempre não negativo, então podemos escrever a inequação:

(x - y)^2 >= 0

x^2 - 2 x y + y^2 >= 0

Sem alterar a inequação, vamos somar + 4 x y nos dois lados:

x^2 - 2 x y + y^2 + 4 x y >= 4 x y

x^2 + 2 x y + y^2 >= 4 x y

Passo 2

Agora, perceba que o lado esquerdo da inequação é um quadrado perfeito:

(x + y)^2 >= 4 x y

Como x > 0 e y > 0 , podemos extrair a raiz quadrada dos dois lados, obtendo:

x + y >= 2 sqrt(x y)

sqrt(x y) <= (x + y)/(2)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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A afirmação:“para todo real x ≥ 0 , x ≥ x ”é falsa ou verdadeira? Justifique.
Prove que é irracional.(a) sqrt(6) (b) sqrt(2) + sqrt(3)
Seja ϵ0 um real dado. Prove que quaisquer que sejam os reais positivos x e y , tem-se: x - yϵ 2 ⇒ x - yϵ
Sejam x , y dois reais quaisquer com 0xy . Provesqrt(y - x)sqrt(y) - sqrt(x)