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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.6 - Ex. 7

Prove: se para todo r > 0 , r real, |a - b| < r , então a = b .

Passo 1

Galera, só existem três possibilidades possíveis: a > b , a < b ou a = b . Vamos supor, por contradição, que a > b :

a - b > 0

a - b = c

onde c é um real positivo.

Passo 2

Agora, se a inequação |a - b| < r vale para todo r > 0 , vamos escrevê-la para r = (c)/(2) :

|a - b| < r

|c| < (c)/(2)

c < (c)/(2)

c - (c)/(2) < 0

c < 0

Porém, havíamos suposto que c > 0 , contradição! Não podemos ter a > b .

Passo 3

A segunda possibilidade é a < b , encontraremos uma contradição de modo muito análogo:

a - b < 0

a - b = d

onde d é um real negativo. Escrevemos a inequação |a - b| < r para r = - (d)/(2) > 0 :

|d| < - (d)/(2)

- d < - (d)/(2)

0 < d - (d)/(2)

d > 0

Porém, havíamos suposto que d < 0 , contradição! Também não podemos ter a < b . Logo, só nos resta afirmar que a = b .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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