Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.1 - Ex. 82
Uma reta tangente à hipérbole é traçada em um ponto .
a) Mostre que o ponto médio do segmento de reta cortado dessa reta tangente pelos eixos coordenados é .
b) Mostre que o triangulo formado pela reta tangente e pelos eixos coordenados sempre tem a mesma área, não imposta onde esteja localizados sobre a hiperbole.
Passo 1
Fala aí! como vai?
Nesse problema queremos demonstrar que o ponto médio do segmento da reta tangente à hipérbole
e delimitado pelos eixos coordenados é o próprio ponto , isto é, o ponto de tangência .
E tambem que o triangulo formado pela reta tangente e pelos eixos coordenados sempre tem a mesma área, não importa onde esteja localizados sobre a hipérbole.
Tem ideia de como fazemos isso?
Primeiramente vamos lembrar que a equação da reta é dada por
Onde é um ponto que pertence à reta e é o coeficiente angular que pode ser expressado como
Veja só!
Passo 2
Sejam e os pontos onde a reta tangente corta os eixos e , respectivamente. Seja o ponto médio, então:
Seja , o ponto de tangência, então, a inclinação da reta tangente, segundo a Geometria Analítica, pode ser dada por ou e a derivada de da hipérbole é dada pela regra da potência
Então, temos que:
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Igualando com a temos :
Multiplicando em , temos
Se , então...
Igualando com a temos :
Novamente multiplicando em
Assim, provamos que e , logo .
Bacana, não é?
Passo 4
Agora para o item b)
Quando , a área será . Já quando a área será .
Se concluirmos que , então poderemos dizer que a área do triangulo será constante. Para que isso aconteça:
Os pontos e pertencem à hipérbole, então: e
Daí, podemos concluir que , pois é constante. No item pudemos provar que é sempre ponto médio, então:
e
e
Daí temos que e
Da igualdade podemos chegar a seguinte conclusão:
A última igualdade é a condição que prova que e, por isso, a àrea do triangulo será constante para qualquer ponto .
E aí! o que achou? Responde Aí!
Resposta
Resposta nos passos