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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 3

Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = y x é uma função derivável, dada implicitamente pela equação dada.

  1. y 3 + sen ⁡ x y = 1
  2. e y + x y = x
  3. y x + x = y 2
  4. x cos ⁡ y + y cos ⁡ x = 2

Passo 1

  1. Temos que a derivada pode ser expressa da seguinte forma:

    2. y ' = d y d x

    Vamos então derivar:

    y 3 + sen ⁡ x y = 1 → d d x y 3 + d d x ( sen ⁡ x y ) = d d x 1

    Para calcular essas derivadas vamos usar a regra do polinômio, da função trigonométrica, da função constante, do produto e da cadeia:

    x n ' = n x n - 1

    sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

    c ' = 0

    f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

    y ' = f ' g x ⋅ g ' x

    Vamos então aplicar:

    d d x y 3 + d d x ( sen ⁡ x y ) = d d x 1 → 3 y 3 - 1 y ' + cos ⁡ x y x y ' = 0 → 3 y 2 y ' + cos ⁡ x y x ' y + y ' x = 0 → 3 y 2 y ' + cos ⁡ x y x 1 - 1 y + y ' x = 0 → 3 y 2 y ' + cos ⁡ x y x 0 y + y ' x = 0 → 3 y 2 y ' + cos ⁡ x y 1 ⋅ y + y ' x = 0 → 3 y 2 y ' + cos ⁡ x y y + y ' x = 0 → 3 y 2 y ' + y cos ⁡ x y + y ' x cos ⁡ x y = 0 → 3 y 2 y ' + y ' x cos ⁡ x y = - y cos ⁡ x y → y ' x cos ⁡ x y + 3 y 2 = - y cos ⁡ x y →

    y ' = - y cos ⁡ x y x cos ⁡ x y + 3 y 2

    Passo 2

  2. Vamos então derivar:

    3. e y + x y = x → d d x e y + d d x x y = d d x x

    Para calcular essas derivadas vamos usar a regra do polinômio, da função exponencial, do produto e da cadeia:

    x n ' = n x n - 1

    e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

    f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

    y ' = f ' g x ⋅ g ' x

    Vamos então aplicar:

    d d x e y + d d x x y = d d x x → e y y ' + x ' y + y ' x = x 1 - 1 → e y y ' + x 1 - 1 y + y ' x = x 0 → e y y ' + x 0 y + y ' x = 1 → e y y ' + 1 ⋅ y + y ' x = 1 → e y y ' + y + y ' x = 1 → y ' e y + x = 1 - y → y ' = 1 - y e y + x

    Passo 3

  3. Vamos então derivar:

    4. y x + x = y 2 → d d x y x + d d x x = d d x y 2

    Para calcular essas derivadas vamos usar a regra do polinômio, da função exponencial, do produto, função logarítmica natural e da cadeia:

    x n ' = n x n - 1

    e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

    f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

    ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

    y ' = f ' g x ⋅ g ' x

    Vamos então aplicar:

    d d x y x + d d x x = d d x y 2 → d d x e x ln ⁡ y + x 1 - 1 = 2 y 2 - 1 y ' → e x ln ⁡ y x ln ⁡ y ' + x 0 = 2 y y ' → e x ln ⁡ y x ' ln ⁡ y + ln ⁡ y ' x + 1 = 2 y y ' → e x ln ⁡ y x 1 - 1 ln ⁡ y + 1 y y ' x + 1 = 2 y y ' → e x ln ⁡ y ln ⁡ y + 1 y y ' x + 1 = 2 y y ' → e x ln ⁡ y ln ⁡ y + e x ln ⁡ y 1 y y ' x + 1 = 2 y y ' → - 2 y y ' + e x ln ⁡ y 1 y y ' x = - 1 - e x ln ⁡ y ln ⁡ y → y ' x e x ln ⁡ y y - 2 y = - 1 - e x ln ⁡ y ln ⁡ y → y ' = - 1 - e x ln ⁡ y ln ⁡ y x e x ln ⁡ y y - 2 y → y ' = - 1 - e x ln ⁡ y ln ⁡ y x e x ln ⁡ y - 2 y 2 y → y ' = - 1 - e x ln ⁡ y ln ⁡ y y x e x ln ⁡ y - 2 y 2 → y ' = - y - y e x ln ⁡ y ln ⁡ y x e x ln ⁡ y - 2 y 2

    Passo 4

  4. Vamos então derivar:

x cos ⁡ y + y cos ⁡ x = 2 → d d x x cos ⁡ y + d d x y cos ⁡ x = d d x 2

Para calcular essas derivadas vamos usar a regra do polinômio, da função trigonométrica, da função constante, do produto e da cadeia:

x n ' = n x n - 1

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

c ' = 0

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

y ' = f ' g x ⋅ g ' x

Vamos então aplicar:

d d x x cos ⁡ y + d d x y cos ⁡ x = d d x 2 → x ' cos ⁡ y + cos ⁡ y ' x + y ' cos ⁡ x + cos ⁡ x ' y = 0 → x 1 - 1 cos ⁡ y + - sen ⁡ y y ' x + y ' cos ⁡ x + - sen ⁡ x y = 0 → cos ⁡ y - y ' x sen ⁡ y + y ' cos ⁡ x - y sen ⁡ x = 0 → y ' - x sen ⁡ y + cos ⁡ x = - cos ⁡ y + y sen ⁡ x → y ' = - cos ⁡ y + y sen ⁡ x - x sen ⁡ y + cos ⁡ x

Resposta

  1. y ' = - y cos ⁡ x y x cos ⁡ x y + 3 y 2
  2. y ' = 1 - y e y + x
  3. y ' = - y - y e x ln ⁡ y ln ⁡ y x e x ln ⁡ y - 2 y 2
  4. y ' = - cos ⁡ y + y sen ⁡ x - x sen ⁡ y + cos ⁡ x
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