Enunciado

Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio:

Um retângulo tem um perímetro de 20 metros. Expresse a área do retângulo como uma função do comprimento de um de seus lados.

Passo 1

Eaee, belezinha??

Bom... a questão quer que encontremos a fórmula da área de um retângulo em função do comprimento de um de seus lados.

A área de um retângulo de lados H e L é dada por:

A = H L

Essa é uma função que depende de duas variáveis ( H e L ). Para reduzi-la a apenas uma variável a questão nos diz que o perímetro do retângulo é de 20 metros.

E o perímetro de um retângulo é dado pela soma dos lados:

P = 2 L + 2 H

Ah, a questão também quer que encontremos o domínio da função que a gente encontrar!

O domínio de uma função é o conjunto de valores possíveis para a variável de entrada da função, que nesse caso é o comprimento de um dos lados do retângulo.

Passo 2

Precisamos escrever um lado em função do outro. Podemos fazer isso a partir da expressão do perímetro!

O perímetro P de 20 metros é dado por:

P = 2 L + 2 H

20 = 2 L + 2 H

Logo,

10 = L + H

E podemos deixar em função de L , tendo:

L = 10 - H

Agora, vamos conseguir reduzir a nossa função área para uma única variável.

Passo 3

Agora só substituímos a última expressão encontrada na expressão da área. Saca só:

A = H L

A = H ( 10 - H )

A = 10 H - H 2

Agora, sobre o domínio dessa função, precisamos que a nossa área seja positiva (afinal não existe área negativa) e também precisamos que o lado H seja maior do que zero.

Olhando para a expressão da área fatorada, temos:

A = H ( 10 - H )

Para a área ser positiva, é preciso que ambos os fatores H e 10 - H sejam positivos ou ambos negativos.

No entanto, H precisa ser positivo, pois não existe lado negativo.

Dessa forma, para a área ser positiva é preciso que H e 10 - H sejam positivos.

H > 0

10 - H > 0

Ou seja, H precisa ser menor que 10 também.

H < 10

Portanto, o domínio da nossa funç��o é:

0 < H < 10

Valores de H maiores que 10 resultam numa área negativa, e valores de H menores que 0 resultam num lado negativo, e nada disso existe num retângulo de verdade né!

Entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

A = 10 H - H 2 ,     0 < H < 10

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