Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 1.1 - Ex. 57

Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio:

Um retângulo tem um perímetro de metros. Expresse a área do retângulo como uma função do comprimento de um de seus lados.

Passo 1

Eaee, belezinha??

Bom... a questão quer que encontremos a fórmula da área de um retângulo em função do comprimento de um de seus lados.

A área de um retângulo de lados e é dada por:

Essa é uma função que depende de duas variáveis ( e ). Para reduzi-la a apenas uma variável a questão nos diz que o perímetro do retângulo é de metros.

E o perímetro de um retângulo é dado pela soma dos lados:

Ah, a questão também quer que encontremos o domínio da função que a gente encontrar!

O domínio de uma função é o conjunto de valores possíveis para a variável de entrada da função, que nesse caso é o comprimento de um dos lados do retângulo.

Passo 2

Precisamos escrever um lado em função do outro. Podemos fazer isso a partir da expressão do perímetro!

O perímetro de metros é dado por:

Logo,

E podemos deixar em função de , tendo:

Agora, vamos conseguir reduzir a nossa função área para uma única variável.

Passo 3

Agora só substituímos a última expressão encontrada na expressão da área. Saca só:

Agora, sobre o domínio dessa função, precisamos que a nossa área seja positiva (afinal não existe área negativa) e também precisamos que o lado seja maior do que zero.

Olhando para a expressão da área fatorada, temos:

Para a área ser positiva, é preciso que ambos os fatores e sejam positivos ou ambos negativos.

No entanto, precisa ser positivo, pois não existe lado negativo.

Dessa forma, para a área ser positiva é preciso que e sejam positivos.

Ou seja, precisa ser menor que também.

Portanto, o domínio da nossa funç��o é:

Valores de maiores que resultam numa área negativa, e valores de menores que resultam num lado negativo, e nada disso existe num retângulo de verdade né!